Rešavanje pravouglih trouglova

Rešiti trougao znači odrediti dužine svih njegovih stranica i mere svih njegovih uglova.

Sada možete, koristeći znanje Pitagorine teoreme i šest trigonometrijskih funkcija, rešiti pravougli trougao. Pošto pravougli trougao ima jedan ugao od 90 stepeni, rešavanje pravouglog trougla zahteva da nađete meru samo jednog od dva oštra ugla. Kojim postupkom ćete rešavati će zavisiti od toga koje informacije su vam date. Sledeći primeri će prikazati dve situacije: trougao kome je nepoznata jedna stranica i trougao kome su nepoznate dve stranice.

Primer 1: Rešimo trougao ispod:

Rešenje: Treba da nađemo dužine svih stranica i mere svih uglova. U ovom trouglu su date dve od tri stranice. Možemo naći dužinu treće stranice koristeći Pitagorinu teoremu:

(Mogli smo prepoznati Pitagorinu trojku 6, 8, 10, umesto da računamo.)

Takođe smo mogli da nađemo treću stranicu pomoću neke od trigonometrijskih funkcija. Primetite kako je nedostajuća stranica nalegla na dati ugao, a hipotenuza je data. Zato smo mogli da upotrebimo kosinusnu funkciju da bi našli nedostajuću dužinu:

Takođe smo mogli koristiti i tangensnu funkciju, pošto je data i naspramna kateta. Možda vas zbunjuje to što smo mogli da nađemo nedostajuću stranicu na više načina. Suština je, međutim, ne da vas zbunim, već da vam pokažem da morate da posmatrate šta vam nedostaje i šta je dato, pa onda da smislite kako da rešite zadatak. Sve u svemu, kada je potrebno da nađete nedostajuću stranicu trougla, koristićete ili Pitagorinu teoremu, ili neku trigonometrijsku funkciju.

Da bi rešili gornji trougao, takođe treba da nađemo mere sva tri ugla. Dva ugla su data: 90 stepeni i 53 stepena. Možemo naći treći ugao koristeći zbir uglova u trouglu:

Hajde sada da razmotrimo trougao kome nedostaju dužine dveju stranica.

Primer 2: Rešimo trougao prikazan ispod:

Rešenje: U ovom trouglu su nam nepoznate dve stranice. Možemo naći dužinu jedne koristeći trigonometrijsku funkciju. Onda možemo naći dužinu treće stranice koristeći trigonometrijsku funkciju sa istim datim vrednostima, a ne stranicom koju smo izračunali. Ovo radimo zato što je vrednost koju smo našli približna i ne bismo dobili tačniji rezultat za poslednju nedostajuću stranicu. Uvek koristite samo date informacije kada rešavate pravougle trouglove.

Data nam je mera ugla i dužina nalegle katete na taj ugao. Ako želimo da izračunamo dužinu hipotenuze, možemo da koristimo kosinusnu funkciju:

Ako želimo da nađemo dužinu druge katete trougla, možemo da koristimo tangensnu funkciju. Ovo će nam dati najtačniji odgovor jer ne koristimo približne vrednosti.

Sada znamo dužine sve tri stranice trougla. Možete, kao domaći zadatak, proveriti dobijene vrednosti koristeći Pitagorinu teoremu. Ovde ćemo, da bi završili rešavanje trougla, izračunati još meru nedostajućeg ugla:

Primetite kako je u oba primera bio dat jedan oštar ugao. Ako nije dat ni jedan, trebaće nam nova strategija za nalaženje uglova.

Inverzne trigonometrijske funkcije

Razmotrimo pravougli trougao ispod:

U ovom trouglu umemo da odredimo svih šest trigonometrijskih funkcija oba oštra ugla. Iz bilo koje od ovih funkcija takođe možemo naći meru ugla, koristeći digitron. Znamo da je

Ako ukucate 30 u svoj digitron i onda pritisnete na dugme za sinus, digitron će izbaciti rezultat 0.5. (Pazite da vam je digitron podešen na stepene. To se vidi tako što piše sitnim slovima „DEG“.)

Dakle, kod trougla iznad, znamo trigonometrijske funkcije, ali ne i uglove. U ovom slučaju nam trebaju inverzne trigonometrijske funkcije da bi dobili meru ugla. Ove funkcije se zovu isto, samo sa dodatkom „arkus“ ispred imena. Na digitronu se nalaze iznad dugmića za sinus, kosinus i tangens. Da biste im pristupili, pritisnite dugme na kome piše 2^nd ili Shift ili Inv, a onda odgovarajuće dugme za funkciju, posle čega se mera ugla pojavljuje na ekranu.

Za matematiku je ovo dovoljno kao rezultat: „arkuskosinus od 24/25“. Digitronom dobijamo približno 16°.

Primer 3: Nađite uglove iz trigonometrijskih funkcija:

a) sin x = 0,687

b) tg x = 4/3.

Rešenje: Koristite digitron:

a) arcsin 0,687 ≈ 43°

b) arctg (4/3) ≈ arctg 1,33 ≈ 53°

Primer 4: Zamislite da živite u kući i želite da spustite nešto jako teško sa tavana. Recimo da ne možete da ga spustite niz merdevine. Odlučili ste da od nekih krevetskih čaršafa napravite „tobogan“ i niz njega spustite potrebnu stvar. Ako je tavan visok 25 metara i imate čaršafa za 3 metra „tobogana“, pod kojim uglom treba da vežete čaršafe za pod?

Rešenje: Prvo da nacrtamo sliku:

Sa slike se sada vidi da nam je potreban arkussinus.

Čaršafe treba učvrstiti pod uglom od 56°.