On-line učionica

15. maja 2016.

Dokazivanje trigonometrijskih identiteta

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:19 pm

Ova lekcija je direktni nastavak prethodne. Sada kada znate kako da uprostite neki trigonometrijski izraz, proširićemo tu ideju na dokazivanje jednakosti. Kako to radimo?

Izaberemo jednu (po našoj proceni komplikovaniju) stranu identiteta i pokušamo da dobijemo onu drugu, jednostavniju stranu.

U tom procesu je zgodno prvo sve pretvoriti u sinus i kosinus, sem ako nije očigledno da je to suvišan korak (npr. sve je u funkciji tangensa i kotangensa).

Dalje, koristimo poznate identitete, to jest formule.

I poslednje, ali ne najmanje važno – kada se „zaglavimo“ i ne znamo šta dalje, „zavirimo“ šta treba da dobijemo, pa nastavimo u tom smeru.

Primer 1: Dokažimo jednakost:

Formula3003

Rešenje: Prvo moramo odlučiti koja strana je komplikovanija. Iako to možda ne deluje tako, počećemo od desne strane, jer ima dva izraza koji se oduzimaju, dok je leva samo jedan razlomak. Dalje, sve pretvaramo u sinus i kosinus i oduzimamo dobijene razlomke. Potom primenjujemo Pitagorin identitet:

Formula3004 (more…)

Advertisements

29. aprila 2016.

Uprošćavanje trigonometrijskih izraza

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 6:46 pm

Sada kada smo se bolje upoznali sa osnovnim trigonometrijskim formulama, možemo ih koristiti za uprošćavanje izraza. Podsetimo se da smo ih obradili u jednoj od prethodnih lekcija, a ovde ćemo ih se samo podsetiti.

Recipročne formule:

Formula2949

Formule za tangens i kotangens:

Formula2950

Pitagorin identitet:

Formula2951

Trigonometrijske funkcije komplementnog ugla:

Formula2952 (more…)

28. aprila 2016.

Nalaženje tačnih trigonometrijskih vrednosti…

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:46 pm

…korišćenjem osnovnih trigonometrijskih formula.

U prošlom članku smo pomenuli neke trigonometrijske formule. Sada ćemo ih koristiti da bismo našli tačne vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova. Evo nekoliko primera.

Primer 1: Ako je

Formula2940

naći ostale trigonometrijske funkcije datog ugla.

Rešenje: Prvo ćemo upotrebiti Pitagorin identitet

Formula2941 (more…)

18. aprila 2016.

Neke trigonometrijske formule

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:09 am

Trigonometrijske formule su tačni iskazi za sve vrednosti ugla (naravno, pod uslovom da pripada domenu). Ranije smo se upoznali sa recipročnim trigonometrijskim funkcijama, sekansom, kosekansom i kotangensom, recipročnim vrednostima sinusa, kosinusa i tangensa. Definicije ovih funkcija se mogu napisati u obliku formula, poto su uvek tačne.

Recipročne trigonometrijske formule:

Formula2927

Druge formule uključuju definiciju tangensa, varijacije na Pitagorinu teoremu, fazne pomeraje i negativne uglove. Njih ćemo otkriti kroz primere.

Primer 1: Pokažimo da je

Formula2928

Ovo se zove formula za tangens.

Rešenje: Kada god treba da dokažemo neki identitet, počinjemo od jedne strane i trudimo se da dobijemo drugu. Ovde ćemo početi od desne, komlikovanije strane i pokazaćemo da je jednaka levoj, tangensu ugla. Koristićemo definicije sinusa, kosinusa i tangensa u pravouglom trouglu: (more…)

27. marta 2016.

Grafik tangensa

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 4:20 pm

Grafik tangensne funkcije se jako razlikuje od grafika sinusne i kosinusne funkcije. Prvo da se podsetimo da je tangens u pravouglom trouglu definisan kao odnos

Formula2876

U koordinatnoj ravni, na x-osi se nanosi ugao, a na y-osi vrednost tangensa. Predstavimo to tablicom

 x  α 0  π / 6 π / 4  π / 3  π / 2  2π / 3 3π / 4 5π / 6  π
 y  tg α 0  √3 / 3  1  √3  nedefinisano  -√3  -1  -√3 / 3  0

Nakon pi, vrednosti se ponavljaju, što znači da je i tangens periodična funkcija, ali njen period iznosi π.

Slika582 (more…)

17. marta 2016.

Period sinusne i kosinusne funkcije

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:48 am

Poslednja stvar na koju možemo uticati kod sinusne i kosinusne krive je njen period.

Normalan period sinusne ili kosinusne funkcije je 2π. Ako „razvučemo krivu po x-osi“, period bi bio duži. Na slikama ispod su prikazane dve sinusoide sa različitim periodima.

Slika579

Slika580 (more…)

13. marta 2016.

Grafici trigonometrijskih funkcija oblika y = Asin (x – C) + D i y = Acos (x – C) + D

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:46 pm

Ovde ćemo samo iskombinovati sve što smo radili u poslednje dve lekcije…

Primer 1: Skicirajmo grafik funkcije

Formula2845

i nađimo njen domen i kodomen.

Rešenje: Prvo, poređenjem sa opštim oblikom

Formula2832

imamo da je amplituda 4, a fazni pomeraj pi četvrtina. To znači da ćemo sinusoidu „razvući“ od -4 do 4, a zatim je „pomeriti“ udesno za pi četvrtina:

Slika573 (more…)

11. marta 2016.

Fazni i vertikalni pomeraji

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 6:48 pm

Već ćete videti da je tako i sa svim drugim funkcijama, grafici sinusne i kosinusne funkcije se mogu pomerati po koordinatnom sistemu levo, desno, gore i dole. Opšte jednačine za sinusnu i kosinusnu krivu glase

Formula2832

Ova velična C koja se javlja u jednačinama se naziva fazni pomeraj, a veličina D predstavlja vertikalno pomeranje. Veličina C će, ukoliko je pozitivna, pomerati grafik u pozitivnu (desnu) stranu, a ako je negativna u negativnu (levu) stranu. Isto važi i za D, s tim što je pomeranje na gore, odnosno dole.

Primer 1: Skicirajmo grafik funkcije

Formula2833

Rešenje: Poredeći jednačinu sa opštim oblikom, dobijamo da je

Formula2834

To znači da će grafik ove funkcije u odnosu na kosinusnu funkciju biti pomeren za pi četvrtina udesno. Najlakši način da to nacrtamo je da nacrtamo kosinusnu funkciju, a onda sve pomerimo udesno za odgovarajuću veličinu: (more…)

9. marta 2016.

Grafik sinusa i kosinusa

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:04 pm

Ovde ćemo uzeti trigonometrijski krug o kome smo učili ranije i ucrtaćemo ga u koordinatni sistem.

Da bi to uradili, „razmotaćemo“ krug. Setite se da su koordinate tačaka na trigonometrijskom krugu date sa (cos φ, sin φ), gde je φ centralni ugao. Da bi nacrtali funkciju y = sin x koordinate ćemo pretvoriti u (x, sin x), gde je x centralni ugao, dat u radijanima. Pogledajte sada pažljivo animaciju ispod i pokušajte da ispratite šta se dešava sa tačkom koja odgovara centralnom uglu od 3π/4.

GrafikSin

Primetite kako se kriva kreće od -1 do 1. Maksimalna vrednost je 1 i dostiže se za x = π/2. Minimalna vrednost je -1 za x = 3π/2. Ova „visina“ sinusne funkcije se naziva amplituda. Amplituda je polovina vertikalnog rastojanja između najveće i najmanje vrednosti funkcije. (more…)

28. februara 2016.

Heronov obrazac

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:04 am

Heronov obrazac, koji je dobio ime po aleksandrijskom matematičaru i inženjeru Heronu pre oko 2000 godina, se koristi za računanje površine trougla kome su poznate dužine triju stranica. U formuli se koristi poluobim

Formula2777

gde su a, b i c date dužine stranica trougla.

Heronov obrazac glasi

Formula2778

Primer 1: Koristeći Heronov obrazac, izračunati površinu trougla sa dužinama stranica 13 cm, 16 cm i 23 cm.

Rešenje: Prvo ćemo izračunati poluobim

Formula2779

A onda ćemo zameniti vrednosti u obrazac i izračunati: (more…)

Sledeća strana »

Create a free website or blog at WordPress.com.