On-line učionica

22. aprila 2018.

Ispitivanje grafika funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:43 pm

U ovoj lekciji ćemo obnoviti sve što smo naučili o ispitivanju grafika funkcija. Pokazaćemo kako se ove različite metode koriste za ispitivanje ponašanja funkcije i kako će nam pomoći da skiciramo grafike primera reprezentativnih funkcija, posebno racionalnu, korenu i trigonometrijske funkcije.

Informacije koje prikupimo o funkcijama prikazaćemo u obliku liste tačaka koje ispitujemo, koja će nam predstavljati šemu za organizaciju rezultata.

  1. Domen funkcije – bez njega ne možemo, pokazuje nam u kojim tačkama je funkcija definisana.
  2. Parnost i periodičnost funkcije – pomaže nam da suzimo interval ispitivanja funkcije, ako je to moguće.
  3. Asimptote funkcije – određuju ponašanje funkcije na krajevima domena.
  4. Nule i znak funkcije – određuje kada je grafik funkcije iznad, a kada ispod x-ose.
  5. Monotonost funkcije – prvi izvod funkcije precizira intervale rašćenja i opadanja funkcije, kao i lokalne maksimume i minimume.
  6. Grafik funkcije – krajnji ishod prethodnog rada.

Primer 1: (Racionalna funkcija) Ispitajmo funkciju (more…)

Advertisements

16. aprila 2018.

Korišćenje izvoda kod ispitivanja funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:02 am

Počećemo od nekoliko definicija koje će nam pomoći da razjasnimo šta znači kada kažemo da funkcija raste ili opada na nekom intervalu. Onda ćemo videti kako nam izvod funkcije može pomoći da ovo izračunamo.


Definicije: Za funkciju f kažemo da raste na intervalu [a, b] koji se sadrži u domenu funkcije f, ako

Ako važi

onda kažemo da f strogo raste na intervalu [a, b]. Slično, za funkciju f kažemo da opada na intervalu [a, b] koji se sadrži u domenu funkcije f, ako

Ako važi

onda kažemo da f strogo opada na intervalu [a, b].


(more…)

18. marta 2018.

Izvod inverzne funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:17 pm

Neka je data funkcija f i njoj inverzna funkcija g:

Podsetimo se da važi:

Kada nađemo izvod obe strane ove jednakosti, dobijamo:

Odavde možemo dobiti formulu za izvod inverzne funkcije:

(more…)

8. februara 2018.

Izvod proizvoda i količnika funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:01 pm

U ovoj lekciji ćemo pokazati neke primere koji obezbeđuju osnove za formule i teoreme koje će zameniti definiciju izvoda preko limesa efikasnijim i bržim načinima za nalaženje izvoda.

Primer 1: Nađimo izvod funkcije f(x) = 16.

Rešenje: Upotrebimo definiciju:

Ovaj primer se može generalizovati u sledeće pravilo izvoda konstante.


Teorema: Ako je f(x) = c, gde je c konstanta, onda je f'(x) = 0.


Primer 2: Nađimo izvod funkcije g(x) = cf(x), gde je c konstanta, a f(x) je funkcija čiji nam je izvod poznat u x. (more…)

5. februara 2018.

Pojam izvoda funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:34 pm

Setite se od prošle godine, koeficijent pravca prave kroz dve date tačke je

Naravno, ako pustimo da x1 teži x0 onda će Q težiti P duž grafika y = f(x), pa će zato koeficijent prave (sečice krive) težiti koeficijentu tangente krive.

Zato će gornja formula postati

Da bi uprostili oznake, ako kažemo da je x1 = x0 + Δx, onda će x1 → x0 postati Δx → 0.

To znači da će naša formula postati formula za koeficijent pravca tangente u tački

(more…)

25. decembra 2017.

Neke važne granične vrednosti

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:44 pm

Ove granične vrednosti se smatraju važnim, zato što se koriste za dokazivanje nekih kasnijih primera, a navodimo ih ovde bez izvođenja, jer njihove vrednosti nisu baš očigledne. Prva od njih je:



Primer 1: Nađimo graničnu vrednost:

Rešenje: Ovu graničnu vrednost ćemo prvo „racionalisati“, da bi „pretvorili kosinus u sinus“, a zatim ćemo prepoznati kako da upotrebimo gornju važnu graničnu vrednost:

(more…)

7. decembra 2017.

Pojam beskonačnosti, asimptote

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:18 am

Do sada znamo da simbol beskonačnosti ∞ predstavlja oznaku jako velikog broja. Podvlačim još jednom da to nije konkretna vrednost, već samo oznaka za neki baš veliki broj. Kakve sada to ima veze sa graničnim vrednostima? Beskonačnost u limesima se može naći na dve pozicije. Evo jedne:


Definicija: Neka je funkcija f definisana za neke velike brojeve. Ako za svaku okolinu tačke A postoji dovoljno veliki broj M, takav da, čim je x > M, f(x) pripada okolini tačke A, tada broj A nazivamo graničnom vrednošću funkcije f kada x teži beskonačno i pišemo


A evo i druge:


Definicija: Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tačke x0. Ako za svaki broj M postoji okolina tačke x0, takva da čim x pripada toj okolini tačke x0, sledi da je f(x) veće od M, tada kažemo da funkcija f teži beskonačnosti kada x teži x0 i pišemo: (more…)

25. novembra 2017.

Pojam i osobine granične vrednosti funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:44 pm

Ovog puta ćemo krenuti od primera.

Primer 1: Šta mislite, kolika je vrednost funkcije f(x) za x = 0?

Rešenje: Ako probamo da računamo…

stići ćemo do deljenja nulom, a to je nedozvoljeno. Znači, ova funkcija nema vrednost u x = 0. Ali ima u nekoj okolini nule:

x -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 0 0,00001 0,0001 0,001 0,01
f(x) 5,984962 5,9985 5,99985 5,999985 Nedefinisano 6,000015 6,00015 6,0015  6,014963

(more…)

19. novembra 2017.

Još grafika elementarnih funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:06 pm

Podsetićemo se još nekih važnih elementarnih funkcija i njima inverznih funkcija.


Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika


U zavisnosti od vrednosti parametra a, grafik ove funkcije ima jedan od sledeća dva oblika:

(more…)

14. novembra 2017.

Parnost i grafici elementarnih funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:05 pm

Ponovo ćemo krenuti od definicije:


Definicija: Za funkciju f : A → B kažemo da je parna, ako je f(-x) = f(x) za sve vrednosti x iz A.


Primer 1: Dokažimo da je funkcija

parna.

Rešenje: Neka je x proizvoljan realan broj. Tada je

Evo još jedne definicije: (more…)

Sledeća strana »

Create a free website or blog at WordPress.com.