On-line učionica

17. maj 2016.

Primitivna funkcija i diferencijalna jednačina

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:22 pm

U prethodnoj lekciji smo uveli pojam neodređenog integrala i primitivne funkcije u obliku jednačine

Formula2983

Tu imamo funkciju f koju integralimo i nalazimo primitivnu funkciju F takvu da je

Formula2978

Gornja jednačina se naziva diferencijalna jednačina.

Problemi matematičke analize se često predstavljaju u obliku diferencijalnih jednačina.

Primer 1: Nađimo opšte rešenje diferencijalne jednačine

Formula3014

Rešenje: Ovakvu jednačinu rešavamo integraljenjem obe strane jednačine i dobijamo

Formula3015 (more…)

14. maj 2016.

Neodređeni integral

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:34 pm

Počećemo od ideje da svaka operacija, pa i nalaženje izvoda funkcije ima inverznu.

Definicija: Primitivna funkcija funkcije f(x) definisane u intervalu (a, b) je svaka diferencijabilna funkcija F(x) za koju je

Formula2978

Kako se ovo koristi?

Primer 1: Nađimo primitivnu funkciju funkcije

Formula2979

Rešenje: Možete li da se setite neke funkcije čiji je izvod f(x)? Trebalo bi da se setite mnogo njih.

Rešenje su sve funkcije oblika

Formula2980

gde je C proizvoljna konstanta. Grafički, možemo posmatrati vertikalne translacije grafika funkcije (more…)

4. april 2016.

Približno rešavanje jednačina – Njutnova metoda

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:47 am

Počećemo od jednostavnog primera.

Primer 1: Pretpostavimo da želimo da izračunamo √5 bez korišćenja digitrona. Imate li neku ideju? Pokušajte da razmišljate o ovom problemu tako da koristite linearnu aproksimaciju.

Pretpostavimo da želimo da rešimo kvadratnu jednačinu

Formula2899

Znamo da su njeni koreni ±√5.

Ideja je da pronađemo takvu linearnu aproksimaciju u odgovarajućoj tački za koju ćemo lako, rešavanjem linearne jednačine naći nulu funkcije. I eto odlične primene!

Kako izabrati tačku linearne aproksimacije? Pošto je 2 = √4 < √5 < √9 = 3, izabraćemo tačku 2 za početnu (mada je i sa 3 isto tako moguće raditi).

Formula2900 (more…)

31. mart 2016.

Linearne aproksimacije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:47 pm

Linearna aproksimacija funkcije podrazumeva korišćenje tangente funkcije u tački kao približne vrednosti funkcije u nekoj okolini te tačke. Dakle, ovu vezu između tangente i grafika funkcije u okolini tačke tangiranja nazivamo linearna aproksimacija.

Ako je data funkcija f i njen izvod f‘, jednačina tangente u tački x se može napisati kao:

Formula2887

Ako pretpostavimo da je tangenta dobra aproksimacija za f u okolini tačke x, možemo pisati

Formula2888

Ovo je linearna aproksimacija funkcije f u okolini tačke x.

Linearna aproksimacija se onekad označava i sa L tako da važi

Formula2889

Primer 1: Nađimo linearnu aproksimaciju funkcije (more…)

28. mart 2016.

Optimizacija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:56 pm

Sada već umete da ispitate funkciju i da nađete njene maksimume i minimume koristeći prvi i drugi izvod. To ima veliku primenu! Nalaženje rešenja nekih realnih problema (u ekonomiji, nauci, mašinstvu i elektrotehnici) često uključuje postupak pronalaženja maksimuma ili minimuma funkcije na nekom prihvatljivom intervalu vrednosti. Ova vrsta problema se naziva problem optimizacije, a rešenje, koje predstavlja upravo tu ekstremnu vrednost funkcije na intervalu se naziva optimalno rešenje.

U prethodnim lekcijama smo diskutovali metode za nalaženje ekstremuma funkcije i te metode ćemo sada koristiti za rešavanje problema optimizacije. Pretpostavimo da je f neprekidna na zatvorenom intervalu I.

Setite se da smo pronalazili apsolutni minimum i maksimum funkcije na sledeći način:

  1. Nalazili smo vrednosti funkcije f u kritičnim tačkama funkcije u datom intervalu;
  2. Nalazili smo vrednosti funkcije f na krajevima datog intervala;
  3. Najveća od dobijenih vrednosti je bila maksimum, a namanja minimum.

Međutim, realni problemi često nameću ograničenja koja moramo ispuniti pre nego to krenemo da računamo optimalno rešenje. (more…)

2. februar 2016.

Implicitni izvod

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:14 pm

Razmotrimo jednačinu 2xy = 1.

Želimo da dobijemo izvod

Formula2699

Jedan, nama za sada jedini, način je da napravimo eksplicitnu funkciju od x

Formula2700

i nađemo izvod:

Formula2701

Međutim, postoji još jedan način koji podrazumeva da relaciju ostavimo u originalnoj implicitnoj formi. Možemo odmah naći izvod obe strane…

Formula2702 (more…)

18. januar 2016.

Izvod inverznih trigonometrijskih funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:20 pm

Deo tablice izvoda koji se bavi inverznim trigonometrijski funkcijama glasi:

Formula2682

Primetite kako treba pamtiti samo dve, jer se ostale dobijaju samo promenom znaka:

Formula2683

Sve gornje formule se izvode na isti način, a ćemo mi ovde to uraditi samo za arkussinus:

Formula2684 (more…)

10. januar 2016.

Izvod logaritamske funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 2:07 pm

Ovde ćemo raditi malo „naopako“. Prvo ćemo koristiti tablicu, a na kraju ćemo i izvesti formulu. Po tablici, izvod logaritamske funkcije je:

Formula2660

U specijalnom slučaju imamo:

Formula2661

Primer 1: Nađimo izvod funkcije

Formula2662

Rešenje: Ovo je proizvod dve funkcije, ali je druga funkcija složena, pa ćemo koristiti izvod proizvoda polako – prvo ćemo naći izvode svake od funkcija koje se množe:

Formula2663

a onda primeniti formulu za izvod proizvoda: (more…)

11. decembar 2015.

Granične vrednosti trigonometrijskih funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:10 pm

Pravila računanja limesa izneta u prethodnim lekcijama nam daju neke, ali ne i sve alate za računanje graničnih vrednosti u kojima figurišu trigonometrijske funkcije.

Primer 1: Nađimo

Formula2536

Rešenje: Ovo rešavamo direktnom zamenom:

Formula2537

Primer 2: Nađimo

Formula2538

Rešenje: I ovaj…

Formula2539

Primer 3: Nađimo (more…)

10. oktobar 2015.

Inverzne trigonometrijske funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:55 pm

Naravno da već poznajemo četiri osnovne trigonometrijske funkcije:

Formula2429

Poznajemo i njima inverzne funkcije, ali ono što želim da Vas podsetim je da one imaju izvesne restrikcije domena i kodomena.

Ako pitamo koliki je sinus pi šestina, odgovor je jedna polovina. To je jednostavno. A šta se dešavalo kada smo pitali sinus kog ugla je jedna polovina? Odgovor je bio:

Formula2430

A imali smo i arkussinus…

Formula2431

U čemu je razlika? (more…)

Sledeća strana »

Blog na WordPress.com.