On-line učionica

25. decembra 2017.

Neke važne granične vrednosti

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:44 pm

Ove granične vrednosti se smatraju važnim, zato što se koriste za dokazivanje nekih kasnijih primera, a navodimo ih ovde bez izvođenja, jer njihove vrednosti nisu baš očigledne. Prva od njih je:



Primer 1: Nađimo graničnu vrednost:

Rešenje: Ovu graničnu vrednost ćemo prvo „racionalisati“, da bi „pretvorili kosinus u sinus“, a zatim ćemo prepoznati kako da upotrebimo gornju važnu graničnu vrednost:

(more…)

Advertisements

7. decembra 2017.

Pojam beskonačnosti, asimptote

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:18 am

Do sada znamo da simbol beskonačnosti ∞ predstavlja oznaku jako velikog broja. Podvlačim još jednom da to nije konkretna vrednost, već samo oznaka za neki baš veliki broj. Kakve sada to ima veze sa graničnim vrednostima? Beskonačnost u limesima se može naći na dve pozicije. Evo jedne:


Definicija: Neka je funkcija f definisana za neke velike brojeve. Ako za svaku okolinu tačke A postoji dovoljno veliki broj M, takav da, čim je x > M, f(x) pripada okolini tačke A, tada broj A nazivamo graničnom vrednošću funkcije f kada x teži beskonačno i pišemo


A evo i druge:


Definicija: Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tačke x0. Ako za svaki broj M postoji okolina tačke x0, takva da čim x pripada toj okolini tačke x0, sledi da je f(x) veće od M, tada kažemo da funkcija f teži beskonačnosti kada x teži x0 i pišemo: (more…)

25. novembra 2017.

Pojam i osobine granične vrednosti funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:44 pm

Ovog puta ćemo krenuti od primera.

Primer 1: Šta mislite, kolika je vrednost funkcije f(x) za x = 0?

Rešenje: Ako probamo da računamo…

stići ćemo do deljenja nulom, a to je nedozvoljeno. Znači, ova funkcija nema vrednost u x = 0. Ali ima u nekoj okolini nule:

x -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 0 0,00001 0,0001 0,001 0,01
f(x) 5,984962 5,9985 5,99985 5,999985 Nedefinisano 6,000015 6,00015 6,0015  6,014963

(more…)

19. novembra 2017.

Još grafika elementarnih funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:06 pm

Podsetićemo se još nekih važnih elementarnih funkcija i njima inverznih funkcija.


Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika


U zavisnosti od vrednosti parametra a, grafik ove funkcije ima jedan od sledeća dva oblika:

(more…)

14. novembra 2017.

Parnost i grafici elementarnih funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:05 pm

Ponovo ćemo krenuti od definicije:


Definicija: Za funkciju f : A → B kažemo da je parna, ako je f(-x) = f(x) za sve vrednosti x iz A.


Primer 1: Dokažimo da je funkcija

parna.

Rešenje: Neka je x proizvoljan realan broj. Tada je

Evo još jedne definicije: (more…)

11. novembra 2017.

Funkcije i njihove osnovne osobine

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:32 pm

Krenimo od definicije – šta je to funkcija?


Definicija: Neka su A i B neprazni skupovi i neka je svakom x iz A dodeljen po izvesnom zakonu f tačno jedan element iz B. Tada kažemo da je na skupu A definisana funkcija f sa vrednostima u skupu B.


Šta ovo u stvari znači? Da pogledamo na primeru:

Neka su skupovi A i B skupovi svih prirodnih brojeva i neka je zakon f: „pomnoži broj sa 3“. Tada je svakom broju x iz A, kada ga pomnožimo sa 3, dodeljen tačno jedan broj y iz B. To znači da je pravilo „pomnoži broj sa 3“ definicija jedne funkcije na skupu prirodnih brojeva sa vrednostima koji su takođe prirodni brojevi.

(more…)

17. maja 2016.

Primitivna funkcija i diferencijalna jednačina

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:22 pm

U prethodnoj lekciji smo uveli pojam neodređenog integrala i primitivne funkcije u obliku jednačine

Formula2983

Tu imamo funkciju f koju integralimo i nalazimo primitivnu funkciju F takvu da je

Formula2978

Gornja jednačina se naziva diferencijalna jednačina.

Problemi matematičke analize se često predstavljaju u obliku diferencijalnih jednačina.

Primer 1: Nađimo opšte rešenje diferencijalne jednačine

Formula3014

Rešenje: Ovakvu jednačinu rešavamo integraljenjem obe strane jednačine i dobijamo

Formula3015 (more…)

14. maja 2016.

Neodređeni integral

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:34 pm

Počećemo od ideje da svaka operacija, pa i nalaženje izvoda funkcije ima inverznu.

Definicija: Primitivna funkcija funkcije f(x) definisane u intervalu (a, b) je svaka diferencijabilna funkcija F(x) za koju je

Formula2978

Kako se ovo koristi?

Primer 1: Nađimo primitivnu funkciju funkcije

Formula2979

Rešenje: Možete li da se setite neke funkcije čiji je izvod f(x)? Trebalo bi da se setite mnogo njih.

Rešenje su sve funkcije oblika

Formula2980

gde je C proizvoljna konstanta. Grafički, možemo posmatrati vertikalne translacije grafika funkcije (more…)

4. aprila 2016.

Približno rešavanje jednačina – Njutnova metoda

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:47 am

Počećemo od jednostavnog primera.

Primer 1: Pretpostavimo da želimo da izračunamo √5 bez korišćenja digitrona. Imate li neku ideju? Pokušajte da razmišljate o ovom problemu tako da koristite linearnu aproksimaciju.

Pretpostavimo da želimo da rešimo kvadratnu jednačinu

Formula2899

Znamo da su njeni koreni ±√5.

Ideja je da pronađemo takvu linearnu aproksimaciju u odgovarajućoj tački za koju ćemo lako, rešavanjem linearne jednačine naći nulu funkcije. I eto odlične primene!

Kako izabrati tačku linearne aproksimacije? Pošto je 2 = √4 < √5 < √9 = 3, izabraćemo tačku 2 za početnu (mada je i sa 3 isto tako moguće raditi).

Formula2900 (more…)

31. marta 2016.

Linearne aproksimacije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:47 pm

Linearna aproksimacija funkcije podrazumeva korišćenje tangente funkcije u tački kao približne vrednosti funkcije u nekoj okolini te tačke. Dakle, ovu vezu između tangente i grafika funkcije u okolini tačke tangiranja nazivamo linearna aproksimacija.

Ako je data funkcija f i njen izvod f‘, jednačina tangente u tački x se može napisati kao:

Formula2887

Ako pretpostavimo da je tangenta dobra aproksimacija za f u okolini tačke x, možemo pisati

Formula2888

Ovo je linearna aproksimacija funkcije f u okolini tačke x.

Linearna aproksimacija se onekad označava i sa L tako da važi

Formula2889

Primer 1: Nađimo linearnu aproksimaciju funkcije (more…)

Sledeća strana »

Blog na WordPress.com.