On-line učionica

8. aprila 2019.

Osobine tačaka, duži i uglova trougla

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:20 pm

Srednja linija trougla je duž koja povezuje dva središta susednih stranica trougla. Svaki trougao ima tri srednje linije. Pokušajte sada sami, pomoću GeoGebre, da nacrtate trougao sa temenima L(4, 5), M(-2, -7) i N(-8, 3) i nacrtate njegove srednje linije. Kakav je odnos neke srednje linije i stranice trougla koju ne seče? Izmerite njihove dužine. Šta primećujete?


Teorema: Srednja linija trougla podudarna je polovini stranice kojoj je paralelna.


Primer 1: Nađimo dužine x i AB:

Rešenje: Prvo AB je polovina od 34, odnosno 17. Dalje, x dobijamo iz jednačine:

Još jedan zadačić za GeoGebru… možete li da odredite koordinate temena trougla, ako su mu A(1, 5), B(4, -2) i C(-5, 1) središta stranica?


Teorema: Ako tačka pripada simetrali neke duži, onda je ona podjednako udaljena od krajeva te duži.



Teorema: Ako je neka tačka jednako udaljena od krajeva neke duži, onda ona pripada simetrali te duži.


Primer 2: Naći x:

Rešenje: Na osnovu oznaka, znamo da se radi o simetrali duži. Zato je:

Znamo da se dve prave seku u jednoj tački. Ako se desi da se više od dve prave seku u istoj tački, kažemo da su te prave konkurentne. Opet upotrebite GeoGebru i podsetite se šta se dešava sa simetralama stranica trougla. Da li su konkurentne? Ako jesu, koja je to tačka i šta s njom možemo da uradimo?


Teorema: Simetrale stranica trougla se seku u jednoj tački koja je podjednako udaljena od temena trougla.


Tu tačku nazivamo centar opisanog kruga trougla.


Teorema: Ako se tačka nalazi na simetrali nekog ugla, onda je ona podjednako udaljena od krakova tog ugla.



Teorema: Ako je neka tačka unutar ugla podjednako udaljena od krakova tog ugla, onda ona pripada simetrali tog ugla.


I još jednom nam GeoGebra može pomoći da se podsetimo kako to izgleda u trouglu. Da li su simetrale uglova konkurentne? Ako jesu, koja je to tačka i šta s njom možemo da uradimo?


Teorema: Simetrale unutrašnjih uglova trougla se seku u jednoj tački koja je podjednako udaljena od stranica trougla.


Tu tačku nazivamo centar upisanog kruga trougla. Težišna duž trougla povezuje teme i središte naspramne stranice trougla. Težište je tačka u kojoj su težišne duži konkurentne. Ako sada nacrtate težište trougla u GeoGebri, možete li da se podsetite njegovih osobina?


Teorema: Težišne duži trougla se seku u tački koja deli svaku težišnu duž u odnosu 2 : 1.


Primer 3: Ako je T težište trougla ABC i CF = 5y – 16, naći x i y:

Rešenje: Da bi našli x, primetimo da je BT duplo duža od TE, a da bi našli y, primetimo da je CT dve trećine CF:

Visina trougla je duž koja povezuje teme trougla i pravu kojoj pripada naspramna stranica tog trougla, tako da je normalna na tu pravu. Da bismo mogli da konstruišemo visinu, koristimo konstrukciju normale na pravu iz tačke koja ne pripada toj pravoj. Možete li da, koristeći GeoGebru, konstruišete visine proizvoljnog tupouglog trougla? Tačka u kojoj se seku prave kojima pripadaju visine trougla se naziva ortocentar. U oštrouglom trouglu, ortocentar se nalazi u unutrašnjosti trougla. Kod pravouglog trougla, ortocentar je u temenu pravog ugla, a kod tupouglog trougla, ortocentar se nalazi van trougla.


Teorema: Naspram duže stranice u trouglu se nalazi veći ugao.



Teorema: Naspram većeg ugla u trouglu se nalazi duža stranica.



Teorema: Zbir dužina bilo koje dve stranice trougla mora biti veći od dužine treće stranice.



Posledica: Ako su dužine dveju stranica trougla a i b, pri čemu je a > b, onda dužina treće stranice s zadovoljava uslov:



Teorema: Ako su dve stranice jednog trougla podudarne odgovarajućim stranicama drugog trougla, ali je njima zahvaćen ugao prvog trougla veći od odgovarajućeg ugla drugog trougla, onda je treća stranica prvog trougla duža od treće stranice drugog trougla.



Teorema: Ako su dve stranice jednog trougla podudarne odgovarajućim stranicama drugog trougla, ali je treća stranica prvog trougla duža od treće stranice drugog trougla, onda je njima zahvaćen ugao prvog trougla veći od odgovarajućeg ugla drugog trougla.


Advertisements

1 komentar »

  1. […] Trougao […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 8. aprila 2019. @ 12:20 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se /  Promeni )

Google photo

Komentarišet koristeći svoj Google nalog. Odjavite se /  Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se /  Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se /  Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: