On-line učionica

17. novembar 2012.

Osnovne trigonometrijske funkcije

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:34 pm

Sinusna, kosinusna i tangensna funkcija

Prve tri trigonometrijske funkcije sa kojima ćemo najčešće raditi su sinus, kosinus i tangens. Domeni ovih funkcija su uglovi. Možemo ih definisati u pravouglom trouglu: predstavljaju odnose određenih stranica trouglova.

Definišemo sinusnu funkciju na sledeći način: za oštar ugao u pravouglom trouglu, sin x je jednako odnosu naspramne katete i hipotenuze trougla. Na primer, u gornjem trouglu, imamo:

Pošto su svi pravougli trouglovi sa istim oštrim uglovima međusobno slični, ova funkcija će uvek davati isti odnos, bez obzira na to koji trougao koristimo. Dakle, funkcija je dobro definisana.

Slično, kosinus ugla je definisan kao odnos nalegle (susedne) katete i hipotenuze trougla. Koristeći gornji trougao, imamo:

Na kraju, tangens ugla se definiše kao odnos naspramne katete i nalegle katete. U trouglu iznad, imamo:

Postoji nekoliko važnih stvari koje treba napomenuti o načinu na koji pišemo ove funkcije. Prvo, zapamtite da su oznake sin x, cos x i tg x isto što i f(x). One se prosto koriste kao oznake specijalnih vrsta funkcija. Drugo, pazite kada čitate zapise – oznake se čitaju isto kao da su napisane punim imenom. Kada napišemo sin x i dalje to izgovaramo kao sinus. Kada napišemo cos x, i dalje kažemo kosinus. A kada napišemo tg x, i dalje izgovaramo tangens.

Možemo koristiti ove definicije da bi našli sinus, kosinus i tangens uglova u pravouglom trouglu.

Primer 1: Naći sinus, kosinus i tangens ugla α:

Rešenje:

Jedan od razloga što nam ove funkcije pomažu da rešavamo probleme je taj što će ovi odnosi uvek biti isti, sve dok su uglovi isti. Razmorimo na primer, trougao sličan ovom iz prethodnog primera.

Ako dupliramo sve stranice, onda je stranica AB trougla ABD 6. Pošto su trouglovi slični, BD je duga 8. To znači da je hipotenuza AD duga 10. (Ovaj rezultat možete proveriti ili Pitagorinom teoremom, ili znajući za Pitagorine trojke.)

Ako koristimo trougao ABD da bi našli sinus, kosinus i tangens ugla α, dobićemo:

Primer 2: Nađimo sin βkoristeći slične trouglove odozgo.

Rešenje: Na osnovu malog trougla imamo:

Na osnovu velikog trougla dobijamo:

Odnose za trigonometrijske funkcije moramo naučiti napamet:

Sekans, kosekans i kotangens

U pravouglom trouglu možemo definisati još tri funkcije. One su recipročne sinusu, kosinusu i tangensu.

Ako je

onda definišemo kosekans sa:

Ako je

onda definišemo sekans sa:

Ako je

onda definišemo kotangens sa:

Primer 3: Nađimo sekans, kosekans i kotangens ugla β.

Rešenje: Prvo, moramo naći dužinu hipotenuze. Ovo možemo uraditi koristeći Pitagorinu teoremu:

Sada možemo naći sekans, kosekans i kotangens ugla β:

Da ne ostanemo bez teme za razmišljanje: Da li ste primetili neku sličnost između sinusa jednog i kosinusa drugog oštrog ugla u istom trouglu?

5 komentara »

  1. I? Sta je sinus? Koja je to velicina na trouglu? Da li smo nasli duzinu stranice trougla kao sto mozemo pitagorinom teoremom ili smo otkrili veliku istinu da je 8/10 isto sto i 4/5? Dajte jasan odgovor, sta je sinus ili kosinus osim ove definicije da je to odnos dvaju odredjenih stranica, sta sa njim izracunavamo, kako nam pomaze da nesto nadjemo.

    Komentar od Goran — 7. mart 2016. @ 11:59 pm | Odgovor

  2. Članak je veoma jasan. Sinus nije veličina na trouglu, već je to upravo odnos dve stranice! Da, odnos dve stranice, a ne konkretna veličina. Čudno zar ne? Pomaže nam u mnogim situacijama. Recimo da nadješ visinu neke zgrade bez da se pentraš po zidovima😉

    Komentar od Viktor Kiš Jovak — 22. mart 2016. @ 6:04 pm | Odgovor

    • Da. Članak je jasan kao tvoj odgovor. Ajde ako ti sinus pomaže pomozi ti tako što ćeš predstaviti sinus kroz neki lak zadatak i rešiti ga pomoću te funkcije. Nije me sram što ne znam ali kako predavače matematike nije sram da ne poznaju nešto što zastupaju nije mi jasno. Čak je i Ajnštajn rekao: ako ne umeš nešto na prost način da objasniš, ti to ne razumeš dovoljno.

      Komentar od Goran — 22. mart 2016. @ 10:28 pm | Odgovor

      • U ovom levo linkovanom članku u sekciji „related“ ima nekoliko elementarnih primena… Inače, ako pitaš inženjere, nisu ni umeli ništa da računaju, dok nisu naučili trigonometriju😉

        Komentar od jelena100janovic — 27. mart 2016. @ 3:40 pm

      • Video sam ovo, i racunao, hvala! to mi je trebalo

        Komentar od Goran — 27. mart 2016. @ 5:24 pm


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: