On-line učionica

12. septembra 2015.

Sadržaj članaka matematike za prvi razred

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:09 pm

Evo i sadržaja za prvi razred smera Tehničar mehatronike. Naravno, linkovi će se dopunjavati tokom godine: (more…)

Advertisements

Sadržaj članaka matematike za četvrti razred

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:37 pm

Evo i sadržaja za četvrti razred smera Tehničar mehatronike. Možda deluje „skupljeno“, tako je zbog toga što imam baš „čudnu“ generaciju 😦 Naravno, linkovi će se dopunjavati tokom godine: (more…)

8. februara 2018.

Izvod proizvoda i količnika funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:01 pm

U ovoj lekciji ćemo pokazati neke primere koji obezbeđuju osnove za formule i teoreme koje će zameniti definiciju izvoda preko limesa efikasnijim i bržim načinima za nalaženje izvoda.

Primer 1: Nađimo izvod funkcije f(x) = 16.

Rešenje: Upotrebimo definiciju:

Ovaj primer se može generalizovati u sledeće pravilo izvoda konstante.


Teorema: Ako je f(x) = c, gde je c konstanta, onda je f'(x) = 0.


Primer 2: Nađimo izvod funkcije g(x) = cf(x), gde je c konstanta, a f(x) je funkcija čiji nam je izvod poznat u x. (more…)

5. februara 2018.

Pojam izvoda funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:34 pm

Setite se od prošle godine, koeficijent pravca prave kroz dve date tačke je

Naravno, ako pustimo da x1 teži x0 onda će Q težiti P duž grafika y = f(x), pa će zato koeficijent prave (sečice krive) težiti koeficijentu tangente krive.

Zato će gornja formula postati

Da bi uprostili oznake, ako kažemo da je x1 = x0 + Δx, onda će x1 → x0 postati Δx → 0.

To znači da će naša formula postati formula za koeficijent pravca tangente u tački

(more…)

25. decembra 2017.

Neke važne granične vrednosti

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:44 pm

Ove granične vrednosti se smatraju važnim, zato što se koriste za dokazivanje nekih kasnijih primera, a navodimo ih ovde bez izvođenja, jer njihove vrednosti nisu baš očigledne. Prva od njih je:



Primer 1: Nađimo graničnu vrednost:

Rešenje: Ovu graničnu vrednost ćemo prvo „racionalisati“, da bi „pretvorili kosinus u sinus“, a zatim ćemo prepoznati kako da upotrebimo gornju važnu graničnu vrednost:

(more…)

7. decembra 2017.

Pojam beskonačnosti, asimptote

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:18 am

Do sada znamo da simbol beskonačnosti ∞ predstavlja oznaku jako velikog broja. Podvlačim još jednom da to nije konkretna vrednost, već samo oznaka za neki baš veliki broj. Kakve sada to ima veze sa graničnim vrednostima? Beskonačnost u limesima se može naći na dve pozicije. Evo jedne:


Definicija: Neka je funkcija f definisana za neke velike brojeve. Ako za svaku okolinu tačke A postoji dovoljno veliki broj M, takav da, čim je x > M, f(x) pripada okolini tačke A, tada broj A nazivamo graničnom vrednošću funkcije f kada x teži beskonačno i pišemo


A evo i druge:


Definicija: Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tačke x0. Ako za svaki broj M postoji okolina tačke x0, takva da čim x pripada toj okolini tačke x0, sledi da je f(x) veće od M, tada kažemo da funkcija f teži beskonačnosti kada x teži x0 i pišemo: (more…)

25. novembra 2017.

Pojam i osobine granične vrednosti funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:44 pm

Ovog puta ćemo krenuti od primera.

Primer 1: Šta mislite, kolika je vrednost funkcije f(x) za x = 0?

Rešenje: Ako probamo da računamo…

stići ćemo do deljenja nulom, a to je nedozvoljeno. Znači, ova funkcija nema vrednost u x = 0. Ali ima u nekoj okolini nule:

x -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 0 0,00001 0,0001 0,001 0,01
f(x) 5,984962 5,9985 5,99985 5,999985 Nedefinisano 6,000015 6,00015 6,0015  6,014963

(more…)

19. novembra 2017.

Još grafika elementarnih funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:06 pm

Podsetićemo se još nekih važnih elementarnih funkcija i njima inverznih funkcija.


Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika


U zavisnosti od vrednosti parametra a, grafik ove funkcije ima jedan od sledeća dva oblika:

(more…)

14. novembra 2017.

Parnost i grafici elementarnih funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:05 pm

Ponovo ćemo krenuti od definicije:


Definicija: Za funkciju f : A → B kažemo da je parna, ako je f(-x) = f(x) za sve vrednosti x iz A.


Primer 1: Dokažimo da je funkcija

parna.

Rešenje: Neka je x proizvoljan realan broj. Tada je

Evo još jedne definicije: (more…)

11. novembra 2017.

Funkcije i njihove osnovne osobine

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:32 pm

Krenimo od definicije – šta je to funkcija?


Definicija: Neka su A i B neprazni skupovi i neka je svakom x iz A dodeljen po izvesnom zakonu f tačno jedan element iz B. Tada kažemo da je na skupu A definisana funkcija f sa vrednostima u skupu B.


Šta ovo u stvari znači? Da pogledamo na primeru:

Neka su skupovi A i B skupovi svih prirodnih brojeva i neka je zakon f: „pomnoži broj sa 3“. Tada je svakom broju x iz A, kada ga pomnožimo sa 3, dodeljen tačno jedan broj y iz B. To znači da je pravilo „pomnoži broj sa 3“ definicija jedne funkcije na skupu prirodnih brojeva sa vrednostima koji su takođe prirodni brojevi.

(more…)

29. marta 2017.

Sistemi linearnih jednačina sa tri nepoznate

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:33 pm

Setite se da smo u prvom razredu rešavali sisteme jednačina sa dve nepoznate, a i poneki sa tri… Tada smo koristili metod suprotnih koeficijenata. Sada ćemo samo taj postupak uopštiti – inače se zove Gausov metod.

Rešenje sistema od tri jednačine sa tri nepoznate je uređena trojka (x, y, z) koja predstavlja jednu tačku u trodimenzionom koordinatnom sistemu. Šta mislite, šta onda predstavlja jedna jednačina sa tri nepoznate?

Kada počnete da studirate, videćete da je odgovor na prethodno pitanje – ravan u trodimenzionom koordinatnom sistemu. Za sada će to prosto biti jednačina, a geometrijska predstava mi ovde treba da pokušate da zamislite šta se dešava kada se tri ravni seku? I šta je u tom preseku? I da li uopšte moraju da se seku?

  • Ako uzmemo dve M-ravni i jednu B-ravan, uvek ćemo u preseku imati tačno jednu tačku – tada sistem ima jedinstveno rešenje
  • Ako uzmemo dve B-ravni i jednu M-ravan, ili sve tri M-ravni, nećemo imati presek sve tri ravni – tada je sistem nemoguć i nema rešenja
  • Ako uzmemo bilo koje dve ravni i zamislimo treću koja sadrži presek te dve, ili ako se sve tri ravni poklapaju – tada je sistem neodređen i ima beskonačno mnogo rešenja. U ovom slučaju za jednu (ili dve) koordinate uzimamo proizvoljne vrednosti, a ostale(u) izražavamo preko tih vrednosti

(more…)

28. marta 2017.

Upisana i opisana lopta

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:33 pm

I ovde je trebalo da bude ne jedan, već više učeničkih radova, ali ih nema… Da ne grešim dušu, ovog puta jesu urađeni većinom, ali ni jedan nije bio dovoljno uredan da bih ga „okačila“. Zato će ovaj članak, umesto da sadrži nekoliko uspešnih rešenja, imati samo zadatke.

Domaći zadatak se predaje na dvolisnici A4 formata uredno naslovljen i potpisan, nacrtan i izračunat (zamislite da je to neki kao grafički rad). Možete i da ga uradite na računaru – u tom slučaju ga predajete na jednom listu A4 formata. Za sve zadate zadatke važi – izračunati sve što umeš (sve površine i zapremine dobijenih tela). Da ne dužim više, evo zadataka:

Za ocenu 2:

  1. Lopta opisana oko kocke stranice 2.
  2. Lopta upisana u kocku stranice 2.
  3. Lopta opisana oko kvadra dimenzija 3 x 4 x 5.
  4. Lopta opisana oko pravilne trostrane jednakoivične prizme stranice 2.
  5. Lopta opisana oko pravilne trostrane jednakoivične prizme stranice 1.
  6. Lopta opisana oko pravilne četvorostrane prizme osnovne ivice 2 i visine 4.
  7. Lopta opisana oko pravilne jednakoivične šestostrane prizme ivice 2.
  8. Lopta opisana oko pravilne jednakoivične šestostrane prizme ivice 1.
  9. Oko kvadrata stranice 2 je opisan krug. Obe figure rotiraju oko ose normalne na jednu stranicu kvadrata.
  10. U kvadrat stranice 2 je upisan krug. Obe figure rotiraju oko ose normalne na jednu stranicu kvadrata.
  11. Oko jednakostraničnog trougla stranice 2 je opisan krug. Obe figure rotiraju oko ose normalne na jednu stranicu trougla.
  12. U jednakostranični trougao stranice 2 je upisan krug. Obe figure rotiraju oko ose normalne na jednu stranicu trougla.
  13. Oko kvadrata stranice 2 je opisan krug. Obe figure rotiraju oko ose određene dijagonalom kvadrata.
  14. U kvadrat stranice 2 je upisan krug. Obe figure rotiraju oko ose određene dijagonalom kvadrata.

(more…)

Sledeća strana »

Blog na WordPress.com.