On-line učionica

25. avgust 2016.

Četvorouglovi

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 3:45 pm

Četvorougao je mnogougao sa četiri stranice. Pet specijalnih četvorouglova su prikazani u sledećoj tabeli svojim definicijama i slikama.

Četvorougao Definicija Slika
Paralelogram Četvorougao sa dva para paralelnih stranica  Slika628
 Pravougaonik  Četvorougao sa četiri prava ugla  Slika629
 Romb Četvorougao sa četiri podudarne stranice Slika630
Kvadrat  Četvorougao sa četiri prava ugla i četiri podudarne stranice Slika631
 Deltoid Četvorougao sa dva para susednih međusobno podudarnih stranica  Slika632

(more…)

22. avgust 2016.

Trouglovi

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:42 pm

Trougao je geometrijska figura u ravni sa tačno tri stranice.

Po dužini stranica, klasifikujemo ih na raznostrane, jednakokrake i jednakostranične.

Po uglovima, klasifikujemo ih na pravougle, oštrougle i tupougle.

U par narednih primera, dokazaćemo neke teoreme o trouglovima.

Primer 1: Dokažimo da je zbir uglova u trouglu 180°.

Rešenje: Ovaj dokaz uključuje paralelnost i naizmenične uglove. Aksioma o paralelnosti kaže da se kroz datu tačku van date prave može povući tačno jedna prava koja je paralelna datoj. Upravo to ćemo i uraditi.

Slika621Evo i dokaza:

Formula3053 (more…)

19. avgust 2016.

Prave i uglovi

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:25 am

Razmotrimo sada situaciju u kojoj su dve prave presečene trećom.

Ova treća prava se naziva transverzala, a osam uglova koje formira uglovi na transverzali. Uglovi koji se nalaze između dve date prave se nazivaju unutrašnji, a četiri druga ugla su spoljašnji. Takođe imamo i saglasne, suprotne i naizmenične uglove:

Slika615

Za nas će najinteresantniji biti slučaj kada su date dve prave međusobno paralelne

Slika614 (more…)

18. avgust 2016.

Teorema i dokaz

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:18 pm

U geometriji, aksioma je tvrđenje za koje se pretpostavlja da je tačno na osnovu osnovnih geometrijskih principa. Na primer aksioma je rečenica:

Kroz bilo koje dve razne tačke se može povući tačno jedna prava.

Nekada se smatralo da su aksiome tvrđenja koja su toliko očigledna da im ne treba dokaz. Danas znamo bolje. Teorema je matematičko tvrđenje koje se može i mora dokazati da bi se smatralo tačnim. Sigurno ste čuli za reč teorema i pre nego što ste učili njen primer – Pitagorinu teoremu. Većina sadržaja geometrije uključuje učenje raznih teorema i njihovo dokazivanje.

Šta znači dokazati nešto? I ranije ste dokazivali, ali pre toga češće su Vas pitali da „obrazložite svoj odgovor“ ili da „objasnite svoje razmišljanje“. Ove stvari su jako važne, jer objašnjavaju vaše rezonovanje i u idealnom slučaju svi mogu da Vas isprate i ubeđeni su da ste u pravu. Dokaz je samo formalan način obrazlaganja odgovora. U okviru dokaza cilj je da koristite date informacije i činjenice, o kojima se svi slažu da su tačne, da bi pokazali da novo tvrđenje mora takođe biti tačno.

Pretpostavimo da treba da dokažemo da visina jednakokrakog trougla, koja odgovara osnovici, polovi tu osnovicu. Prvo ćemo nacrtati skicu i obeležiti date elemente:

Slika612 (more…)

17. avgust 2016.

Pregled osnovnih pojmova geometrije

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 2:32 am

Ovde ćemo se podsetiti osnova geometrije sa kojima ste se susretali tokom dosadašnjeg školovanja. Podsetićemo se pojma dimenzija, uglova, linija i ravnih figura.

Sećate li se da ste sve geometrijske pojmove opisivali kao podskupove svih mogućih tačaka u prostoru? I da ste imali osnovne pojmove koji se ne definišu …

Tačka – dimenzije 0

Prava – dimenzije 1

Ravan – dimenzije 2

I ceo prostor – dimenzije 3

Svi ostali pojmovi u geometriji su izvedeni. Na primer…

Duž – podskup tačaka prave između dve date tačke. (more…)

17. maj 2016.

Primitivna funkcija i diferencijalna jednačina

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:22 pm

U prethodnoj lekciji smo uveli pojam neodređenog integrala i primitivne funkcije u obliku jednačine

Formula2983

Tu imamo funkciju f koju integralimo i nalazimo primitivnu funkciju F takvu da je

Formula2978

Gornja jednačina se naziva diferencijalna jednačina.

Problemi matematičke analize se često predstavljaju u obliku diferencijalnih jednačina.

Primer 1: Nađimo opšte rešenje diferencijalne jednačine

Formula3014

Rešenje: Ovakvu jednačinu rešavamo integraljenjem obe strane jednačine i dobijamo

Formula3015 (more…)

15. maj 2016.

Dokazivanje trigonometrijskih identiteta

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:19 pm

Ova lekcija je direktni nastavak prethodne. Sada kada znate kako da uprostite neki trigonometrijski izraz, proširićemo tu ideju na dokazivanje jednakosti. Kako to radimo?

Izaberemo jednu (po našoj proceni komplikovaniju) stranu identiteta i pokušamo da dobijemo onu drugu, jednostavniju stranu.

U tom procesu je zgodno prvo sve pretvoriti u sinus i kosinus, sem ako nije očigledno da je to suvišan korak (npr. sve je u funkciji tangensa i kotangensa).

Dalje, koristimo poznate identitete, to jest formule.

I poslednje, ali ne najmanje važno – kada se „zaglavimo“ i ne znamo šta dalje, „zavirimo“ šta treba da dobijemo, pa nastavimo u tom smeru.

Primer 1: Dokažimo jednakost:

Formula3003

Rešenje: Prvo moramo odlučiti koja strana je komplikovanija. Iako to možda ne deluje tako, počećemo od desne strane, jer ima dva izraza koji se oduzimaju, dok je leva samo jedan razlomak. Dalje, sve pretvaramo u sinus i kosinus i oduzimamo dobijene razlomke. Potom primenjujemo Pitagorin identitet:

Formula3004 (more…)

14. maj 2016.

Neodređeni integral

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:34 pm

Počećemo od ideje da svaka operacija, pa i nalaženje izvoda funkcije ima inverznu.

Definicija: Primitivna funkcija funkcije f(x) definisane u intervalu (a, b) je svaka diferencijabilna funkcija F(x) za koju je

Formula2978

Kako se ovo koristi?

Primer 1: Nađimo primitivnu funkciju funkcije

Formula2979

Rešenje: Možete li da se setite neke funkcije čiji je izvod f(x)? Trebalo bi da se setite mnogo njih.

Rešenje su sve funkcije oblika

Formula2980

gde je C proizvoljna konstanta. Grafički, možemo posmatrati vertikalne translacije grafika funkcije (more…)

1. maj 2016.

Osobine inverznih trigonometrijskih funkcija

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 1:44 pm

Odnosno par primera sa računanjem inverznih trigonometrijskih funkcija.

Primer 1: Nađimo

Formula2962

Rešenje: Ove dve funkcije su međusobno inverzne, pa se mogu „skratiti“. Međutim, moramo voditi računa i o domenima. Pošto „spoljašnja“ funkcija, sinus, nema ograničenja, rezultat je jednostavan:

Formula2963

Razmislite, da li je isto tako

Formula2964

Primer 2: Bez korišćenja digitrona, izračunajmo

Formula2966 (more…)

29. april 2016.

Uprošćavanje trigonometrijskih izraza

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 6:46 pm

Sada kada smo se bolje upoznali sa osnovnim trigonometrijskim formulama, možemo ih koristiti za uprošćavanje izraza. Podsetimo se da smo ih obradili u jednoj od prethodnih lekcija, a ovde ćemo ih se samo podsetiti.

Recipročne formule:

Formula2949

Formule za tangens i kotangens:

Formula2950

Pitagorin identitet:

Formula2951

Trigonometrijske funkcije komplementnog ugla:

Formula2952 (more…)

Sledeća strana »

Blog na WordPress.com.

Prati

Dobijte svaki novi članak dostavljen u vaše poštansko sanduče.

Pridružite se 101 drugom pratiocu