On-line učionica

3. januara 2015.

Neke trigonometrijske smene

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 7:42 pm

Kada se susretnemo sa integralima u kojima figurišu koreni oblika

Formula2056

možemo upotrebiti trigonometrijske funkcije koje eliminišu znak korena. Na primer, da bi eliminisali koren u izrazu

Formula2057

možemo uvesti smenu

Formula2058

koja daje

Formula2059

Razlog za restrikciju

Formula2060 (more…)

Advertisements

2. januara 2015.

Neki trigonometrijski integrali

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 6:25 pm

Ovde ćemo rešavati integrale oblika

Formula2025

gde su m i n prirodni brojevi. Koristićemo poznate trigonometrijske identitete

Formula2026

Primer 1: Izračunajmo

Formula2027

Rešenje: Koristeći gornje identitete imamo

Formula2028

Slično, drugi integral se može napisati kao

Formula2029 (more…)

28. decembra 2014.

Integracija nekih racionalnih razlomljenih funkcija

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 6:47 pm

Ovde u stvari nećemo učiti nikakvu novu metodu integracije. Samo ćemo naučiti da rastavimo racionalni izraz na zbir dva ili više jednostavnih racionalnih izraza. Na primer, racionalna funkcija

Formula2001

se može rastaviti na

Formula2002

Zašto je ovo bitno? Pretpostavimo da želimo da izračunamo integral gornje racionalne funkcije. Rastavljanjem na dva razlomka, integral postaje lakše rešiv:

Formula2003

Da bismo ovako rastavljali razlomke treba da rastavimo imenilac na proste činioce, a onda rastavimo racionalnu funkciju na jednostavne razlomke. Najbolje ćemo to pokazati na primeru.

Primer 1: Rastavimo racionalnu funkciju

Formula2004

Rešenje: Počinjemo rastavljanjem imenioca na proste činioce: (more…)

16. decembra 2014.

Parcijalna integracija neodređenog integrala

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 1:25 pm

Ovde ćemo računati integrale koji sadrže proizvod dve funkcije, kao što su

Formula1973

Parcijalna integracija se zasniva na formuli koju smo već izvodili:

Formula1974

Pravilnim izborom za u i dv, drugi integral postaje lakši za računanje. Vežba će pomoći da pravilno izaberete u i dv.

Primer 1: Izračunajmo

Formula1975

Rešenje: Izaberimo

Formula1976

Računamo (more…)

14. decembra 2014.

Metoda smene kod neodređenog integrala

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 1:02 pm

Integracija metodom smene promenljive je verovatno jedan od najmoćnijih alata koji nam je dostupan kod nalaženja integrala. U ovoj metodi, biramo deo integranda koji smenjujemo promenljivom u, a onda ceo integral pišemo u funkciji od u. Teži deo posla je odluka šta je najbolje zameniti sa u. Međutim, uz vežbu, razvićete sposobnost prave odluke.

Ponekad nije lako izračunati integral direktno. Na primer, pogledajmo integral

Formula1953

Jedan od načina da izračunamo ovaj integral je da prvo kvadriramo integrand, a onda upotrebimo tablični integral.

Formula1954

To je bilo lako. Ali, šta da smo imali veći stepen? Npr.

Formula1955

Da li bismo sada prvo dizali binom na 15-ti stepen? To bi bilo nepraktično i predugo bi trajalo. Bolje je smeniti promenljivu. Smena promenljive komplikovan integral, kao što je ovaj gore, pretvara u neki koji je lako izračunati. Da ne teoretišem više o metodi smene promenljive, pređimo na primere… (more…)

13. decembra 2014.

Integrali koji uključuju logaritamsku, eksponencijalnu i inverzne trigonometrijske funkcije

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 7:03 pm

Nedavno smo posebno ispitivali izvod logaritamske funkcije i tamo smo zaključili da važi:

Formula1931

Zato imamo oblik integrala

Formula1932

što sve proizilazi iz primene metode smene promenljive na tablični integral

Formula1933

Primer 1: Izračunajmo

Formula1934

Rešenje: U opštem slučaju, kada naođemo na integral racionalne funkcije, ako je izvod imenioca jednak brojiocu, možemo direktno napisati rešenje:

Formula1935 (more…)

10. decembra 2014.

Metode integracije

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 10:55 am

Ovde ćemo proširiti svoje metode za računanje neodređenih integrala. Pogledaćemo nekoliko situacija u kojima računanje integrala zahteva posebne metode. One uključuju integral složene funkcije i integral proizvoda funkcija.

Recimo da treba da izračunamo sledeći integral:

Formula1905

Naša tablica nam ovde ne pomaže ni malo. Ali možemo primetiti da je ovaj integrand oblika

Formula1906

gde su

Formula1907

Pošto tražimo primitivnu funkciju F funkcije f i znamo da je

Formula1908 (more…)

7. decembra 2014.

Neodređeni integral

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 3:17 pm

Ideja inverzne operacije operaciji diferencijacije (ili računanja izvoda) funkcije se naziva neodređeni integral. Ovde ćemo uvesti neka pravila koja će nam pomoći u računu i rešavanju zadataka.

Funkcija F(x) se naziva primitivna funkcija funkcije f, ako je

Formula1886sa sve x iz domena funkcije f.

Primer 1: Razmotrimo funkciju

Formula1887

Možemo li da se setimo funkcije F(x), takve da je

Formula1886Rešenje: Evo nekoliko primera:

Formula1888 (more…)

2. novembra 2014.

Izvod inverznih trigonometrijskih funkcija

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 7:08 pm

Znamo šta su trigonometrijske funkcije, ali šta behu inverzne trigonometrijske funkcije? Ako nas interesuje koliko je sinus od pi šestina, odgovor je jedna polovina. To je jednostavno. Ali šta ako nas interesuje od kog ugla je sinus jedna polovina? To je inverzna trigonometrijska funkcija. Dakle, kažemo:

Formula1831

ali i

Formula1832

„arcsin“ je oznaka za arkussinus, inverznu funkciju funkcije sin. Za sve trigonometrijske funkcije imamo odgovarajuće inverzne funkcije. One se označavaju sa:

Formula1833

Na digitronima možemo videti i oznake, redom:

Formula1834

Pošto su sve trigonometrijske funkcije periodične, one nisu „1-1“, pa ne mogu imati inverznu funkciju na celom domenu. U tabeli ispod su date inverzne trigonometrijske funkcije i njihove najvažnije osobine: (more…)

20. oktobra 2014.

Izvod logaritamske i eksponencijalne funkcije

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 1:13 pm

Izvod logaritamske funkcije

Ovde nam nije cilj da izvodimo formulu, ali ne mogu da ne napomenem da se pri izvođenju ove formule koriste definicija broja e :

Formula1312

definicija izvoda funkcije:

Formula1113

osobine logaritamske funkcije kao što su:

Formula1313

i druge i dosta „pakovanja rezultata“, a ima i smena.

Da ne dužim više, formula glasi:

Formula1314 (more…)

Sledeća strana »

Create a free website or blog at WordPress.com.