Sistemi linearnih jednačina sa tri nepoznate

Setite se da smo u prvom razredu rešavali sisteme jednačina sa dve nepoznate, a i poneki sa tri… Tada smo koristili metod suprotnih koeficijenata. Sada ćemo samo taj postupak uopštiti – inače se zove Gausov metod.

Rešenje sistema od tri jednačine sa tri nepoznate je uređena trojka (x, y, z) koja predstavlja jednu tačku u trodimenzionom koordinatnom sistemu. Šta mislite, šta onda predstavlja jedna jednačina sa tri nepoznate?

Kada počnete da studirate, videćete da je odgovor na prethodno pitanje – ravan u trodimenzionom koordinatnom sistemu. Za sada će to prosto biti jednačina, a geometrijska predstava mi ovde treba da pokušate da zamislite šta se dešava kada se tri ravni seku? I šta je u tom preseku? I da li uopšte moraju da se seku?

• Ako uzmemo dve M-ravni i jednu B-ravan, uvek ćemo u preseku imati tačno jednu tačku – tada sistem ima jedinstveno rešenje
• Ako uzmemo dve B-ravni i jednu M-ravan, ili sve tri M-ravni, nećemo imati presek sve tri ravni – tada je sistem nemoguć i nema rešenja
• Ako uzmemo bilo koje dve ravni i zamislimo treću koja sadrži presek te dve, ili ako se sve tri ravni poklapaju – tada je sistem neodređen i ima beskonačno mnogo rešenja. U ovom slučaju za jednu (ili dve) koordinate uzimamo proizvoljne vrednosti, a ostale(u) izražavamo preko tih vrednosti

Primer 1: Odrediti da li je tačka (6, -2, 5) rešenje sistema

Rešenje: Jednostavno ćemo zameniti vrednosti koordinata u sve tri jednačine i proveriti:

Tačka (6, -2, 5) zadovoljava sve tri jednačine, što znači da je to rešenje sistema.

Primer 2: Gausovim metodom rešimo sistem:

Rešenje: Prvo ćemo proučiti koeficijente uz x: imamo 1, -3 i -1. Da bi koeficijent u prvoj jednačini (1) bio suprotan koeficijentu u drugoj (-3), treba da ga pomnožimo sa 3. Za treću jednačinu ne moramo ništa da radimo, jer su koeficijenti već suprotni.

Dakle, da bi neutralisali x iz druge i treće jednačine, prvo ćemo prvu pomnožiti sa 3 i dodati drugoj, a zatim prvu bez množenja dodati drugoj:

Dobili smo jednu jednačinu sa tri nepoznate i dve jednačine sa po dve nepoznate. Sada ponavljamo postupak za drugu i treću jednačinu, da bi eliminisali y iz treće:

Odavde, radom „unazad“ računamo z, zamenom dobijamo y i na kraju x:

Dakle, rešenje je (3, -2, 5). Ne zaboravite da proverite:

Primer 3: Gausovim metodom rešimo sistem:

Rešenje:

Dakle, rešenje je (4, -2, 1). Proveru ću ostaviti Vama.

Primer 4: Gausovim metodom rešimo sistem:

Rešenje:

Pošto smo dobili netačnu jednakost, ovaj sistem nema rešenja.

Primer 5: Gausovim metodom rešimo sistem:

Rešenje:

Dobili smo tačnu jednakost, pa ovaj sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika: (3 – y, y, 0).