Sistemi linearnih jednačina

Samo da se podsetimo iz osnovne škole… Bio je neki metod zamene… Kako to beše?

Primer 1: Podsetićemo se metoda na najjednostavnijim primerima. Rešimo sistem:

Rešenje: Izabraćemo jedan „najlepši“ koeficijent i izraziti tu promenljivu iz te jednačine:

Zamenićemo promenjivu u drugoj jednačini i rešićemo je:

Na kraju, zamenimo dobijenu vrednost u izraz za drugu promenljivu:

I ne zaboravimo da napišemo rešenje:

Primer 2: Rešimo sistem:

Rešenje:

Već ste se verovatno setili da postoji i lakši način da se reši gornji sistem. Da vas podsetim, metod se zove metod suprotnih koeficijenata.

On se zasniva na činjenici da nam je dozvoljeno da sabiramo i oduzimamo jednačine.

Primer 3: Rešimo sistem metodom suprotnih koeficijenata:

Rešenje: Pronaći ćemo suprotne koeficijente i, kada budemo sabrali jednačine, nepoznata uz njih će nestati.

U ovom slučaju smo sabirali jednačine, a moguće je i oduzimati kada imamo iste koeficijente.

Ako budete radili zadatak sa oduzimanjem, povedite više računa o znakovima – tu se često greši.

Takođe, možemo pomnožiti celu jednačinu nekim brojem, što znači da nam je dozvoljeno da napravimo suprotne koeficijente, ako ih već nemamo.

Primer 4: Rešimo sistem:

Rešenje: 

Može da nam se desi da nam je potrebno da pomnožimo obe jednačine da bi dobili suprotne koeficijente. U tom slučaju ih dovodimo do najmanjeg zajedničkog sadržaoca, isto kao kada sabiramo razlomke.

Može nam se dogoditi da nemamo rešenje. U tom slučaju, radi se o nemogućem sistemu.

Ako su obe jednačine iste, samo pomnožene nekim brojem, imaćemo beskonačno mnogo rešenja. U tom slučaju, kažemo da je sistem neodređen.

Sistem, kao prethodni primeri, koji ima jedinstveno rešenje, zove se određen sistem.

Primer 5: Rešimo sistem i odredimo da li je određen, neodređen, ili nemoguć:

Rešenje:

Umesto rešenja sistema smo dobili jednakost koja nije tačna, što znači da je sistem nemoguć. Rešenje ovog sistema ne postoji.

Primer 6: Rešimo sistem i odredimo da li je određen, neodređen, ili nemoguć:

Rešenje:

Umesto rešenja sistema smo dobili jednakost koja je uvek tačna, što znači da je sistem neodređen. Rešenje ovog sistema je jedna od jednačina sistema, odnosno, svi uređeni parovi oblika: