Primitivna funkcija i diferencijalna jednačina

17. maja 2016.

Primitivna funkcija i diferencijalna jednačina

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:22 pm

U prethodnoj lekciji smo uveli pojam neodređenog integrala i primitivne funkcije u obliku jednačine

Tu imamo funkciju f koju integralimo i nalazimo primitivnu funkciju F takvu da je

Gornja jednačina se naziva diferencijalna jednačina.

Problemi matematičke analize se često predstavljaju u obliku diferencijalnih jednačina.

Primer 1: Nađimo opšte rešenje diferencijalne jednačine

Rešenje: Ovakvu jednačinu rešavamo integraljenjem obe strane jednačine i dobijamo

Oba integrala su tablična i to integrali stepena, pa imamo

Primetite kako smo pisali i konstantu integracije C i to čini opšte rešenje diferencijalne jednačine, jer bez dodatnih podataka, imamo beskonačan broj rešenja. Da bi dobili određenu vrednost konstante C, treba nam još informacja.

Primer 2: Recimo da želimo da rešimo sledeću jednačinu

Rešenje: Možemo je rešiti integracijom i dobijamo

Primetimo da imamo beskonačan broj rešenja. U nekim slučajevima, voleli bismo da izdvojimo tačno jedno rešenje. Da bi to uradili, treba da nametnemo neki uslov za funkciju f. To možemo uraditi zadajući neku vrednost funkcije f za određeno x.

Za ovaj primer, pretpostavimo da smo dodali uslov da je

Ovo će izdvojiti tačno jednu vrednost za C, pa će jednačina imati samo jedno rešenje.

Zamenjujući uslov u naše opšte rešenje dobijamo

Dakle, rešenje

je jedinstveno i naziva se partikularno rešenje diferencijlne jednačine

koje zadovoljava početni uslov

Sada možemo rešavati druge probleme koji se iskazuju diferencijalnim jednačinama sa početnim uslovima. Pogledajmo sledeći primer.

Primer 3: Pretpostavimo da grafik funkcije f sadrži tačku (2, 6) i da je koeficijent pravca tangente te funkcije u proizvoljnoj tački x dat sa 3x + 4. Nađimo f(-2).

Rešenje: Možemo prikazati problem pomoću diferencijalne jednačine sa početnim uslovom.