On-line učionica

17. maj 2016.

Primitivna funkcija i diferencijalna jednačina

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:22 pm

U prethodnoj lekciji smo uveli pojam neodređenog integrala i primitivne funkcije u obliku jednačine

Formula2983

Tu imamo funkciju f koju integralimo i nalazimo primitivnu funkciju F takvu da je

Formula2978

Gornja jednačina se naziva diferencijalna jednačina.

Problemi matematičke analize se često predstavljaju u obliku diferencijalnih jednačina.

Primer 1: Nađimo opšte rešenje diferencijalne jednačine

Formula3014

Rešenje: Ovakvu jednačinu rešavamo integraljenjem obe strane jednačine i dobijamo

Formula3015

Oba integrala su tablična i to integrali stepena, pa imamo

Formula3016

Primetite kako smo pisali i konstantu integracije C i to čini opšte rešenje diferencijalne jednačine, jer bez dodatnih podataka, imamo beskonačan broj rešenja. Da bi dobili određenu vrednost konstante C, treba nam još informacja.

Primer 2: Recimo da želimo da rešimo sledeću jednačinu

Formula3017

Rešenje: Možemo je rešiti integracijom i dobijamo

Formula3018

Primetimo da imamo beskonačan broj rešenja. U nekim slučajevima, voleli bismo da izdvojimo tačno jedno rešenje. Da bi to uradili, treba da nametnemo neki uslov za funkciju f. To možemo uraditi zadajući neku vrednost funkcije f za određeno x.

Za ovaj primer, pretpostavimo da smo dodali uslov da je

Formula3019

Ovo će izdvojiti tačno jednu vrednost za C, pa će jednačina imati samo jedno rešenje.

Zamenjujući uslov u naše opšte rešenje dobijamo

Formula3020

Dakle, rešenje

Formula3021

je jedinstveno i naziva se partikularno rešenje diferencijlne jednačine

Formula3017

koje zadovoljava početni uslov

Formula3019

Sada možemo rešavati druge probleme koji se iskazuju diferencijalnim jednačinama sa početnim uslovima. Pogledajmo sledeći primer.

Primer 3: Pretpostavimo da grafik funkcije f sadrži tačku (2, 6) i da je koeficijent pravca tangente te funkcije u proizvoljnoj tački x dat sa 3x + 4. Nađimo f(-2).

Rešenje: Možemo prikazati problem pomoću diferencijalne jednačine sa početnim uslovom.

Formula3022

Integracijom diferencijalne jednačine dobijamo

Formula3023

kao opšte rešenje.

Zamena početnog uslova daje

Formula3024

Dakle,

Formula3025

je partikularno rešenje koje zadovoljava početni uslov

Formula3026

Na kraju, pošto nas interesuje vrednost f(-2), dobijamo:

Formula3027

1 komentar »

  1. […] Najjednostavnije diferencijalne jednačine […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 17. maj 2016. @ 5:24 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: