Neodređeni integral

Počećemo od ideje da svaka operacija, pa i nalaženje izvoda funkcije ima inverznu.

Definicija: Primitivna funkcija funkcije f(x) definisane u intervalu (a, b) je svaka diferencijabilna funkcija F(x) za koju je

Kako se ovo koristi?

Primer 1: Nađimo primitivnu funkciju funkcije

Rešenje: Možete li da se setite neke funkcije čiji je izvod f(x)? Trebalo bi da se setite mnogo njih.

Rešenje su sve funkcije oblika

gde je C proizvoljna konstanta. Grafički, možemo posmatrati vertikalne translacije grafika funkcije

Evo slike

Proces nalaženja primitivne funkcije se naziva integracija. Evo kako se označava i kako funkcioniše.

Počinjemo od diferencijalne jednačine koja predstavlja definiciju primitivne funkcije.

Započinjemo integraciju koja se označava simbolom ∫.

Na kraju dobijamo definiciju neodređenog integrala. Primetite da kada bismo tražili izvod obe strane gornje jednačine, dobili bismo ono od čega smo pošli.

Leva strana gornje jednakosti se naziva neodređen integral funkcije f po x. Funkcija f(x) se naziva integrand, konstanta C konstanta integracije, a simbol dx označava u odnosu na koju promenljivu vršimo integraciju.

Koristeći novu notaciju, rešenje prethodnog primera možemo zapisati i na sledeći način:

Primer 2: Nađimo primitivnu funkciju funkcije

Rešenje: Čiji izvod je funkcija f?

Ako ste rekli

bili biste u pravu.

Evo i kako se to piše

Od početka godine do sada smo nalazili izvode raznih funkcija. U odnosu na njih, možemo sastaviti i tablicu integrala:

Kao i kod izvoda, postoji nekoliko pravila koja nam pomažu sa integracijom. To su osnovna pravila integracije.

Ako su f i g integrabilne funkcije i C konstanta, onda važi:

Primer 3: Izračunajmo sledeći neodređeni integal:

Rešenje: Koristeći gornja pravila imamo:

Često je pitanje gde nestadoše još dve konstante. Naime, posmatrajte C kao oznaku proizvoljnog broja. Tako, kada proizvoljan broj pomnožite brojem ili saberete dva proizvoljna broja, opet ćete dobiti neki broj. U tom smislu, kada god se radi o nekom broju, mi stavljamo oznaku C na kraju procesa integracije kao linearnu kombinaciju svih konstanti.