Ispitivanje grafika funkcije

U ovoj lekciji ćemo obnoviti sve što smo naučili o ispitivanju grafika funkcija. Pokazaćemo kako se ove različite metode koriste za ispitivanje ponašanja funkcije i kako će nam pomoći da skiciramo njen grafik. Pošto smo već pričali o različitim načinima ispitivanja, u nekoliko narednih lekcija ćemo uraditi primere reprezentativnih funkcija koje smo predstavili u uvodnim lekcijama, posebno racionalnu, polinom, korenu i trigonometrijske funkcije. Pre nego što počnemo da radimo na ovim primerima, obnovićemo koje informacije je korisno prikupiti o funkcijama na osnovu dosadašnjeg znanja. Kratko ćemo to prikazati u obliku liste tačaka koje ispitujemo, koja će nam predstavljati šemu za organizaciju rezultata.

1. Domen funkcije – bez njega ne možemo, pokazuje nam u kojim tačkama je funkcija definisana.
   
2. Parnost i periodičnost funkcije – pomaže nam da suzimo interval ispitivanja funkcije, ako je to moguće.
3. Asimptote funkcije – određuju ponašanje funkcije na krajevima domena.
4. Nule i znak funkcije – određuje kada je grafik funkcije iznad, a kada ispod x-ose.
5. Monotonost funkcije – prvi izvod funkcije precizira intervale rašćenja i opadanja funkcije, kao i lokalne maksimume i minimume.
6. Konveksnost funkcije – drugi izvod funkcije precizira intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije i prevojne tačke.
7. Grafik funkcije – krajnji ishod prethodnog rada.

Primer: (Racionalna funkcija) Ispitajmo funkciju

Rešenje: Krenimo redom…

Domen funkcije

Dakle, grafik postoji u svim tačkama sem za x = 4.

Parnost i periodičnost funkcije

Funkcija nije ni parna, ni neparna, ni periodična, pa nam ova tačka ne pomaže za nastavak ispitivanja.

Asimptote funkcije

Sada možemo nacrtati vertikalnu asimptotu i delove grafika do nje. Da vidimo šta se dešava u beskonačnosti:

Možemo dodati i horizontalnu asimptotu.

Nule i znak funkcije

Nulu smo dobili, možemo je odnah ucrtati u grafik, a znak ćemo predstaviti tablicom. Ne zaboravite tačku prekida domena!

x-2	–	2	+	4	+
x-4	–	2	–	4	+
f(x)	+	2	–	4	+

Posle ovoga možemo dodati i ponašanje funkcije oko dvojke.

Monotonost funkcije

Ovde i bez tablice možemo odrediti znak prvog izvoda. Brojilac je uvek negativan, a imenilac uvek pozitivan, jer je kvadrat nekog broja. Zaključujemo da je funkcija uvek opadajuća i da nema ekstremne vrednosti.

Konveksnost funkcije

Dakle, grafik funkcije nema prevojne tačke, a konveksnost prikazujemo tablicom:

x-4	–	4	+
f“(x)	–	4	+
f(x)		4

Posle ovoga možemo dopuniti liniju funkcije na odgovarajući način i dobijamo…

Grafik funkcije

To je sve 😀