Izvod proizvoda i količnika funkcija

U ovoj lekciji ćemo pokazati neke primere koji obezbeđuju osnove za formule i teoreme koje će zameniti definiciju izvoda preko limesa efikasnijim i bržim načinima za nalaženje izvoda.

Primer 1: Nađimo izvod funkcije f(x) = 16.

Rešenje: Upotrebimo definiciju:

Ovaj primer se može generalizovati u sledeće pravilo izvoda konstante.

---

Teorema: Ako je f(x) = c, gde je c konstanta, onda je f'(x) = 0.

---

Primer 2: Nađimo izvod funkcije g(x) = cf(x), gde je c konstanta, a f(x) je funkcija čiji nam je izvod poznat u x.

Rešenje: Upotrebićemo definiciju izvoda:

Ovaj primer je dokaz sledećeg pravila izvoda proizvoda konstante i funkcije.

---

Teorema: Ako je c konstanta, a f je diferencijabilna u x, onda je

Jednostavnije zapisano: (cf)’ = cf’.

---

Primer 3: Nađimo izvod funkcije f(x) = x³.

Rešenje: Opet koristimo definiciju izvoda, ali i formulu za kub binoma:

Ovaj primer se može generalizovati u pravilo izvoda stepene funkcije.

---

Teorema: Ako je n realan broj, onda je za sve vrednosti x

---

Evo pravila izvoda zbira i razlike dveju funkcija.

---

Teorema: Ako su f i g dve diferencijabilne funkcije u tački x onda je

Jednostavnije zapisano: (f ± g)’ = f’ ± g’.

---

Koristeći prethodne primere i definiciju izvoda, trebalo bi da razumete zašto ova pravila važe.

Primer 4: Nađimo izvod funkcije f(x) = x³ – 5x².

Rešenje: Koristićemo pravilo izvoda razlike i pravilo izvoda stepena:

Želimo sada da formulišemo pravilo za nalaženje

Koristeći definiciju izvoda, možemo pisati:

Posle malo algebarskih manipulacija, od gornjeg izraza se može dobiti pravilo izvođenja proizvoda funkcija.

---

Teorema: Ako su f i g diferencijabilne u x, onda je

Jednostavnije zapisano: (f⋅g)’ = f’⋅g + f⋅g’.

---

Primer 5: Nađimo dy/dx za y = (3x⁴ + 2)(7x³ – 1).

Rešenje: Postoje dva načina da rešimo ovaj zadatak. Jedan je da izmnožimo zagrade, a onda nađemo izvod zbira. Drugi je da direktno primenimo pravilo izvoda proizvoda funkcija. U svakom slučaju dobijamo isti rezultat. Počećemo od izvoda zbira.

Nalaženjem izvoda dobijamo

Sada ćemo primeniti pravilo izvoda proizvoda funkcija.

I dobijamo isti odgovor.

Pošto sada poznajemo pravilo izvoda proizvoda funkcija, prirodno se nameće piitanje: „Postoji li pravilo izvođenja količnika funkcija?“ Naravno da da! U stvari, pravilo izvoda količnika funkcija se može izvesti pomoću pravila izvoda proizvoda funkcija (kao što ste mogli pogoditi), pišući količnik f(x)/g(x) kao proizvod f(x)⋅(g(x))^-1. Nadam se da umete sami da dobijete pravilo izvoda količnika funkcija.

---

Teorema: Ako su f i g diferencijabilne funkcije u x i g(x) ≠ 0, onda je

---

Zapamtite da je redosled operacija važan (zbog minusa u brojiocu) i da nikako nije

Primer 6: Nađimo dy/dx za

Rešenje: Direktno koristimo pravilo izvoda količnika: