On-line učionica

11. april 2015.

Rastojanje dve tačke i tačke i prave u koordinatnoj ravni

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:56 pm

Pre nego što pređem na temu, da napomenem da se prava u koordinatnom sistemu može zadati i implicitno, u obliku Ax + By + C = 0. Evo i primera da ilustrujem…

Primer 1: Nacrtajmo prave 3x – 4y – 8 = 0 i 4x + 3y – 15 = 0. Odredimo da li su paralelne ili međusobno normalne.

Rešenje: Prvo da rešimo kako ćemo ih nacrtati – kao u osmom razredu – zamenimo nulu umesto x, pa ucrtamo tačku, a onda isto to sa y i spojimo te dve tačke:

Slika483

Sa slike vidimo da su prave verovatno međusobno normalne, pa da to i dokažemo:

Formula2213

Pošto su koeficijenti pravaca suprotni i recipročni, date prave jesu međusobno normalne.

Sada da se vratim na temu… Rastojanje između dve tačke u koordinatnoj ravni dobijamo pomoću Pitagorine teoreme:

Slika484

Primer 2: Nađimo rastojanje između (4, -2) i (-10, 3).

Rešenje: Samo ćemo primeniti formulu:

Formula2215

Primer 3: Rastojanje dve tačke je 4. Jedna tačka je (1, -6). Koje su koordinate druge tačke, ako znamo da su celobrojne?

Rešenje: Prvo ćemo samo primeniti formulu, a onda, pošto su celobrojna rešenja, možemo razmatrati mogućnosti:

Formula2214

Dakle, imamo četiri rešenja:

Formula2216

Šta je rastojanje između tačke i prave?

Slika485

Rastojanje između tačke i prave je najkraće, odnosno normalno rastojanje između njih.

Primer 4: Odredimo najkraće rastojanje između tačke (1, 5) i prave

Formula2217

Rešenje: Kada znamo šta tačno tražimo, nije previše teško. Da nacrtamo:

Slika486

Prvo ćemo naći jednačinu normale iz date tačke na datu pravu:

Formula2218

Onda nam treba presek date prave i normale, koji dobijamo kao rešenje sistema jednačina dve prave:

Formula2219

Na kraju, nađimo rastojanje između date i dobijene tačke:

Formula2220

Na kraju, moram samo da napomenem da za ovaj poslednji postupak postoji formula u kojoj figuriše implicitni oblik jednačine prave i glasi:

Formula2221

Ako je primenimo na prethodni primer, dobijamo:

Formula2222

Dakle, računica je kraća, ali dodaje još jednu formulu za zapamtiti… Meni lično je bilo lakše da radim na prvi način u školi, jer nisam volela da pamtim formule. Sad mi je lakši drugi, jer sam s godinama korišćenja zapamtila formulu. Vi odlučite za sebe…

2 komentara »

  1. Moj komentar:
    Dobro je: objašnjenja su dobra, grafika dobra…
    Treći zadatak mi je malo pretežak, odgovarao bi nadarenim učenicima.

    Srdačan pozdrav za Vas i učenike,
    maš.inž.Mladen Popović

    Komentar od Mladen Popović — 12. oktobar 2015. @ 11:10 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: