Rastojanje dve tačke i tačke i prave u koordinatnoj ravni

Pre nego što pređem na temu, da napomenem da se prava u koordinatnom sistemu može zadati i implicitno, u obliku Ax + By + C = 0. Evo i primera da ilustrujem…

Primer 1: Nacrtajmo prave 3x – 4y – 8 = 0 i 4x + 3y – 15 = 0. Odredimo da li su paralelne ili međusobno normalne.

Rešenje: Prvo da rešimo kako ćemo ih nacrtati – kao u osmom razredu – zamenimo nulu umesto x, pa ucrtamo tačku, a onda isto to sa y i spojimo te dve tačke:

Sa slike vidimo da su prave verovatno međusobno normalne, pa da to i dokažemo:

Pošto su koeficijenti pravaca suprotni i recipročni, date prave jesu međusobno normalne.

Sada da se vratim na temu… Rastojanje između dve tačke u koordinatnoj ravni dobijamo pomoću Pitagorine teoreme:

Primer 2: Nađimo rastojanje između (4, -2) i (-10, 3).

Rešenje: Samo ćemo primeniti formulu:

Primer 3: Rastojanje dve tačke je 4. Jedna tačka je (1, -6). Koje su koordinate druge tačke, ako znamo da su celobrojne?

Rešenje: Prvo ćemo samo primeniti formulu, a onda, pošto su celobrojna rešenja, možemo razmatrati mogućnosti:

Dakle, imamo četiri rešenja:

Šta je rastojanje između tačke i prave?

Rastojanje između tačke i prave je najkraće, odnosno normalno rastojanje između njih.

Primer 4: Odredimo najkraće rastojanje između tačke (1, 5) i prave

Rešenje: Kada znamo šta tačno tražimo, nije previše teško. Da nacrtamo:

Prvo ćemo naći jednačinu normale iz date tačke na datu pravu:

Onda nam treba presek date prave i normale, koji dobijamo kao rešenje sistema jednačina dve prave:

Na kraju, nađimo rastojanje između date i dobijene tačke:

Na kraju, moram samo da napomenem da za ovaj poslednji postupak postoji formula u kojoj figuriše implicitni oblik jednačine prave i glasi:

Ako je primenimo na prethodni primer, dobijamo:

Dakle, računica je kraća, ali dodaje još jednu formulu za zapamtiti… Meni lično je bilo lakše da radim na prvi način u školi, jer nisam volela da pamtim formule. Sad mi je lakši drugi, jer sam s godinama korišćenja zapamtila formulu. Vi odlučite za sebe…