On-line učionica

28. decembar 2014.

Integracija nekih racionalnih razlomljenih funkcija

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 6:47 pm

Ovde u stvari nećemo učiti nikakvu novu metodu integracije. Samo ćemo naučiti da rastavimo racionalni izraz na zbir dva ili više jednostavnih racionalnih izraza. Na primer, racionalna funkcija

Formula2001

se može rastaviti na

Formula2002

Zašto je ovo bitno? Pretpostavimo da želimo da izračunamo integral gornje racionalne funkcije. Rastavljanjem na dva razlomka, integral postaje lakše rešiv:

Formula2003

Da bismo ovako rastavljali razlomke treba da rastavimo imenilac na proste činioce, a onda rastavimo racionalnu funkciju na jednostavne razlomke. Najbolje ćemo to pokazati na primeru.

Primer 1: Rastavimo racionalnu funkciju

Formula2004

Rešenje: Počinjemo rastavljanjem imenioca na proste činioce:

Formula2005

A onda napišemo rastavljanje kao

Formula2006

Cilj je da nađemo vrednosti za A i B. Da bi to izračunali, treba ponovo sabrati razlomke:

Formula2007

Ova jednakost je tačna za sve vrednosti x za koje je definisana, pa je:

Formula2008

Našli smo A i B. Dakle, rastavljanje racionalne funkcije glasi:

Formula2009

Sada možemo da opišemo postupak rastavljanja racionalne funkcije

Formula2010

Prvo, stepen funkcije f mora biti manji od stepena funkcije g. Ako to nije slučaj, podelićemo dva polinoma i dalje raditi sa ostatkom.

Drugo, funkciju g treba rastaviti na proste činioce. Oni su svi oblika ax + b ili cx2 + dx + e.

Napokon, ako pretpostavimo da je racionalna funkcija rastavljena, ona će imati sledeći oblik:

Formula2011

Primer 2: Iskoristimo gornju formulu da bismo izračunali

Formula2012

Rešenje: Na osnovu uputstva, rastavljanje bi trebalo da glasi:

Formula2013

Saberimo:

Formula2014

Rešimo sistem:

Formula2015

Dakle, rastavljanje glasi:

Formula2016

pa integral postaje

Formula2017

pri čemu smo koristili smenu u = x + 2.

Primer 3: Izračunajmo

Formula2018

Rešenje: Počnimo od rastavljanja imenioca na

Formula2019

Onda je rastavljanje moguće prikazati kao

Formula2020

Sabiranjem dobijamo:

Formula2021

Ovo je tačno za sve x za koje je definisano, pa imamo sistem

Formula2022

Njegovim rešavanjem dobijamo

Formula2023

Sada imamo vrednosti parametara A, B i C. Ubacimo ih direktno u integral:

Formula2024

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: