Kamatni račun

U prethodnih nekoliko lekcija, učili smo o eksponencijalnoj funkciji. U narednih nekoliko ćemo se skoncentrisati na jednu posebnu vrstu eksponencijalnog rasta: kamatni račun. Počećemo od primera prostog kamatnog računa, koji se odnosi samo na glavnicu, ili osnovnu sumu investicije ili zajma. Onda ćemo proučiti šta znači složen kamatni račun. Najjednostavnije rečeno, složen kamatni račun znači da se kamata dobija na osnovu glavnice koju smo investirali, kao i na osnovu kamate koju smo već dobili. Kao što ćete uskoro videti, složeni kamatni račun je jedan slučaj rastuće eksponencijalne funkcije. U ovih par lekcija pogledaćemo neke specifične primere složenog kamatnog računa i izvodićemo formule kako bismo matematički opisali ove specifične primere.

Prost kamatni račun

Kao što smo već napomenuli iznad, kamata se računa na osnovu glavnice investicije ili pozajmice. Prosta kamata se računa kao procenat glavnice. Formula za prost kamatni račun je, kako joj ime kaže, jednostavna:

Promenljiva G predstavlja glavnicu, p predstavlja kamatnu stopu, a n predstavlja vremenski period u kome se kamata računa. Na primer, recimo da pozajmite 2.000 dinara od člana porodice i insistirate da otplatite dug sa kamatom. Složite se da platite 5% kamate i vratite dug za 3 godine. Kamata koju ćete dugovati će biti

To znači da ćete, kada otplatite dug, platiti 2.300 dinara. Primetite kako kamata koju platite posle 3 godine nije 5% originalnog duga, već 15%, pošto ste platili po 5% od 2.000 dinara svake od 3 godine.

Sada razmotrimo jedan primer u kome će kamata biti složena. Recimo da uložite 2.000 dinara na štedni račun, na kome imate 5% kamate godišnje. Koliko će novca biti na računu nakon 3 godine?

Da bismo odredili koliko će novca biti na računu nakon tri godine, treba da odredimo količinu novca na računu na kraju svake godine. U tabeli ispod je prikazana računica za jednu, dve i tri godine ove investicije:

Godina	Glavnica + Kamata
Posle prve godine	2000 + 2000 · 0,05 = 2000 + 100 = 2100 din.
Posle druge godine	2100 + 2100 · 0,05 = 2100 + 105 = 2205 din.
Posle treće godine	2205 + 2205 · 0,05 = 2205 + 110,25 = 2315,25 din.

Dakle, nakon tri godine, imaćete 2.315,25 dinara na računu, što znači da ćete zaraditi 315,25 dinara u kamati. Uz prostu kamatu, zaradili biste 300 dinara u kamati. Složeni račun daje veće kamate, jer se glavnica na koju se računa kamata povećava svake godine. Na primer, u drugoj godini prikazanoj u gornjoj tabeli, zaradili biste 5% od 2.100 dinara, a ne 5% od 2.000 dinara, kao što bi to bio slučaj sa prostom kamatom. Glavna ideja ovde je to što složeni račun stvara veću kamatu jer zarađujete kamatu na kamatu, a ne samo na glavnicu.

Ali koliko više?

Mogli biste pogledati gornji primer i reći: „To je samo 15,25 dinara!“ Zapamtite da smo pogledali samo jedan primer, a taj primer je mali: na globalnom planu investiranja, 2.000 dinara je mala suma novca, a mi smo gledali porast investicije na kratak period. Na primer, ako štedite za penziju, mogli biste investirati na period od 30 godina ili više, a mogli biste ulagati nekoliko hiljada dinara svake godine.

Formule i način računanja investicija za penziju su komplikovaniji od onoga što ćemo mi raditi. Međutim, možemo iskoristiti gornji primer da bismo izveli formulu koja će nam omogućiti da računamo složeni kamatni račun za proizvoljan broj godina.

Formula za računanje složenog kamatnog računa

Da bismo izveli formulu sa složeni kamatni račun, treba da pogledamo opštiji primer. Vratimo se na prethodni primer, ali umesto da pretpostavimo da je investicija 2.000 dinara, neka glavnica investicije bude G dinara. Ključna ideja je da svake godine imate 100% glavnice, plus 5% prethodnog stanja. U tabeli ispod je prikazana računica za ovu opštiju investiciju:

Godina	Glavnica + Kamata	Nova glavnica
1
2
3

Primetite kako je na kraju svake godine, količina novca u investiciji jednaka stepenu broja 1,05, puta G, a stepen odgovara broju godina. S obzirom na ovo pravilo, mogli bismo pretpostaviti da će nakon 4 godine, količina novca biti:

Možemo uopštiti ovo pravilo u obliku formule. Kao i gore, neka G predstavlja glavnicu investicije.

Sada, neka n predstavlja broj godina, a p kamatnu stopu. Imajte na umu da je 1,05 = 1 + 0,05. Pa možemo da uopštimo:

Ova funkcija će nam omogućiti da izračunamo količinu novca u investiciji, ako se kamata računa svake godine narednih n godina.

Primer 1: Upotrebimo gornju formulu da bi odredili količinu novca u investiciji nakon 20 godina, ako uložite 2.000 dinara, a kamatna stopa iznosi 5% godišnje.

Rešenje:

Investicija će vredeti 5.306,60 dinara.

Primeri koje smo do sada videli su primeri godišnjeg pripisivanja kamate. U realnosti, kamata se često računa češće, na primer, mesečno. U ovom slučaju, kamatna stopa se deli na 12 meseci. Formula za računanje stanja računa se onda blago razlikuje:

Primetite kako se kamatna stopa deli sa 12 jer se dvanaestina kamatne stope primenjuje svakog meseca. Promenljiva n u eksponnentu se množi sa 12 jer se kamata računa 12 puta godišnje.

U oštem slučaju, ako se kamata pripisuje k puta godišnje, formula glasi:

Primer 2: Odredimo vrednost investicije od 5.000 dinara na računu na kome se kamata pripisuje mesečno po kamatnoj stopi od 6%, nakon 10 godina.

Rešenje:

Primer 3: Odredimo vrednost investicije od 10.000 dinara na računu na kome se kamata pripisuje kvartalno po kamatnoj stopi od 2,5%, nakon 10 godina.

Rešenje: Kvartalni pripis kamate znači da se kamata pripisuje četiri puta godišnje. Dakle, u jednačini je k = 4:

U svakom od primera, vrednost investicije nakon 10 godina zavisi od tri veličine: glavnice investicije, broja pripisivanja kamate godišnje i kamatne stope. U sledećoj lekciji ćemo pogledati jedan primer iste investicije, ali ćemo menjati svaku od ovih veličina.