Lopitalova teorema, ili još malo o limesima i beskonačnosti

Ovde ćemo se vratiti na temu graničnih vrednosti i ponašanja funkcija na krajevima intervala uvodeći nov, mnogima lakši, način računanja limesa koji imaju neodređen oblik.

Pretpostavimo da ispitujemo ponašanje racionalne funkcije na krajevima domena. U priči o asimptotama posmatrali smo neke racionalne funkcije kao što je

i pokazali da je

Morali smo da se dovijamo, jer je direktna zamena vodila neodređenoj formi ∞/∞. Rešili smo problem deleći brojilac i imenilac najvećim stepenom nepoznate i zahvaljujući činjenici da je

dobili smo horizontalnu asimptotu y = 2.

Slično, koristili smo postupak skraćivanja da bi računali limese neodređenog oblika 0/0, kao što je na primer

Sada ćemo razmotriti druge funkcije oblika f(x)/g(x) u kojima dobijamo neodređene oblike ∞/∞ i 0/0 koje ćemo sve računati na malo drugačiji način.

Razmotrimo funkciju

i pretpostavimo da želimo da nađemo

Primećujemo sledeće:

1. Direktna zamena dovodi do neodređenih formi 0/0 i ∞/∞.
2. U brojiocu imamo ne-polinom, pa ne možemo koristiti metode kao ranije.

Naravno, mi umemo da izračunamo prvi od ovih limesa, jer pripada „poznatim limesima“, naučili smo da je

Drugi limes je malo komplikovaniji… Ako napravimo tablicu vrednosti

x	10	50	100	1000	10000
ln(x+1) / x	0,23979	0,078637	0,046151	0,006909	0,000921

primetićemo da verovatno teži nuli, mada vrlo sporo, što znamo da nije dokaz 🙂

Međutim, postoji i opšti način računanja graničnih vrednosti neodređenog oblika, dat u sledećoj teoremi.

L’Hospital-ovo pravilo: Neka su funkcije f i g diferencijabilne u svim tačkama sem c u nekom intervalu i neka je g'(x) ≠ 0 u tom intervalu. Ako je

ili

onda važi:

Pokušajmo sada da primenimo pravilo na neke primere.

Primer 1: Počećemo od prethodnog primera i proveriti da li smo dobro izračunali limese, koristeći Lopitalovo pravilo.

Rešenje: Pošto je

Lopitalovo pravilo važi i imamo

Slično, važi

Pogledajmo sada još primera.

Primer 2: Izračunajmo

Rešenje: Pošto je

Lopitalovo pravilo važi i imamo

Pogledajmo sada primer sa trigonometrijskim funkcijama.

Primer 3: Izračunajmo

Rešenje: Pošto je

Lopitalovo pravilo važi, pa imamo

Ovde možemo primetiti da ponovo imamo neodređen oblik limesa. Zato primenimo Lopitalovo pravilo ponovo da bi našli limes:

Lopitalovo pravilo se može koristiti više puta na funkciji poput ove. To je često korisno, jer se polinomi svode na konstantu.

Primer 4: Izračunajmo

Rešenje: Pošto je

Lopitalovo pravilo važi i imamo