On-line učionica

22. decembar 2013.

Lopitalova teorema, ili još malo o limesima i beskonačnosti

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 4:19 pm

Ovde ćemo se vratiti na temu graničnih vrednosti i ponašanja funkcija na krajevima intervala uvodeći nov, mnogima lakši, način računanja limesa koji imaju neodređen oblik.

Pretpostavimo da ispitujemo ponašanje racionalne funkcije na krajevima domena. U priči o asimptotama posmatrali smo neke racionalne funkcije kao što je

Formula1321

i pokazali da je

Formula1322

Morali smo da se dovijamo, jer je direktna zamena vodila neodređenoj formi ∞/∞. Rešili smo problem deleći brojilac i imenilac najvećim stepenom nepoznate i zahvaljujući činjenici da je

Formula1323

dobili smo horizontalnu asimptotu y = 2.

Slično, koristili smo postupak skraćivanja da bi računali limese neodređenog oblika 0/0, kao što je na primer

Formula1324

Sada ćemo razmotriti druge funkcije oblika f(x)/g(x) u kojima dobijamo neodređene oblike ∞/∞ i 0/0 koje ćemo sve računati na malo drugačiji način.

Razmotrimo funkciju

Formula1325

i pretpostavimo da želimo da nađemo

Formula1326

Primećujemo sledeće:

  1. Direktna zamena dovodi do neodređenih formi 0/0 i ∞/∞.
  2. U brojiocu imamo ne-polinom, pa ne možemo koristiti metode kao ranije.

Naravno, mi umemo da izračunamo prvi od ovih limesa, jer pripada „poznatim limesima“, naučili smo da je

Formula1327

Drugi limes je malo komplikovaniji… Ako napravimo tablicu vrednosti

x 10 50 100 1000 10000
ln(x+1) / x
0,23979 0,078637 0,046151 0,006909 0,000921

primetićemo da verovatno teži nuli, mada vrlo sporo, što znamo da nije dokaz🙂

Međutim, postoji i opšti način računanja graničnih vrednosti neodređenog oblika, dat u sledećoj teoremi.

L’Hospital-ovo pravilo: Neka su funkcije f i g diferencijabilne u svim tačkama sem c u nekom intervalu i neka je g'(x) ≠ 0 u tom intervalu. Ako je

Formula1328

ili

Formula1329

onda važi:

Formula1330

Pokušajmo sada da primenimo pravilo na neke primere.

Primer 1: Počećemo od prethodnog primera i proveriti da li smo dobro izračunali limese, koristeći Lopitalovo pravilo.

Rešenje: Pošto je

Formula1331

Lopitalovo pravilo važi i imamo

Formula1332

Slično, važi

Formula1333

Pogledajmo sada još primera.

Primer 2: Izračunajmo

Formula1334

Rešenje: Pošto je

Formula1335

Lopitalovo pravilo važi i imamo

Formula1336

Pogledajmo sada primer sa trigonometrijskim funkcijama.

Primer 3: Izračunajmo

Formula1337

Rešenje: Pošto je

Formula1338

Lopitalovo pravilo važi, pa imamo

Formula1339

Ovde možemo primetiti da ponovo imamo neodređen oblik limesa. Zato primenimo Lopitalovo pravilo ponovo da bi našli limes:

Formula1340

Lopitalovo pravilo se može koristiti više puta na funkciji poput ove. To je često korisno, jer se polinomi svode na konstantu.

Primer 4: Izračunajmo

Formula1341

Rešenje: Pošto je

Formula1342

Lopitalovo pravilo važi i imamo

Formula1343

2 komentara »

  1. […] Lopitalovo pravilo […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 5. januar 2016. @ 3:13 pm | Odgovor

  2. Bravo Profesorka!

    Komentar od Eugen Sunic — 26. februar 2016. @ 11:42 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: