Izvod složene funkcije (kompozicije funkcija)

Znamo da je izvod funkcije

ali nije

Ako funkcija sadrži nešto što nije „samo x„, moramo koristiti izvod složene funkcije da bi našli njen izvod.

Funkcija je složena, ako nastaje kompozicijom više funkcija, to jest ako je jedna funkcija „unutar“ druge. Kod ove funkcije

imamo dve funkcije: sinus i množenje sa 3. Jedna od njih je „spoljašnja“, a druga „unutrašnja“. Kako odrediti koja je koja? Probajte da izračunate vrednost funkcije za neko x. Šta ćete prvo uraditi: množiti sa tri, ili računati sinus? Operacija koju prvu radite je „unutrašnja funkcija“, a operacija koju poslednju radite „spoljašnja funkcija“. Zašto je ovo važno znati?

Pravilo računanja izvoda složene funkcije kaže da se prvo računa izvod spoljašnje funkcije, a unutrašnja se ne dira. Onda se sve pomnoži izvodom unutrašnje funkcije.

U našem slučaju, izvod je dakle:

Zgodno je takođe dopisati zagrade tamo gde je potrebno – funkcija koja je van zagrade je „spoljašnja“, a unutar zagrade „unutrašnja“. Na primer, za funkciju

kada dopišemo zagrade, imamo

i onda vidimo da je stepena funkcija van zagrade, pa je ona „spoljašnja“. Izvod je onda

Formalno, teorema o izvodu složene funkcije glasi: Ako je data funkcija

onda je

Primer 1: Nađimo izvod funkcije:

Rešenje: Da vidimo, gde bismo dodali zagrade? Teško pitanje? Da probamo drugim metodom – kad bi znali koliko je x, šta bismo prvo računali? Kvadrat! Aha, pa onda to ide u zagradu:

I onda je izvod

Primer 2: Nađimo izvod funkcije:

Rešenje: Ovde već imamo zagrade, pa radimo direktno:

Primer 3: Nađimo izvod funkcije:

Rešenje: Šta bismo prvo radili sa x, da je dato? Sinus. Dakle,

A odatle je:

Primer 4: Nađimo izvod funkcije:

Rešenje: Nemojte da vas zbunjuje ova petica na početku. Ona samo množi celu funkciju, znači prepisuje se:

Primer 5: Nađimo izvod funkcije:

Rešenje: Ovde imamo dve zagrade, ali to ne treba da nas plaši. Samo idemo redom, od „spoljašnje funkcije“. Šta je van obe zagrade?

Dobro, a šta je između dve zagrade?

I na kraju, šta je unutar obe zagrade?

Dakle, izvod je