Definicija izvoda funkcije u tački

Izvod funkcije

u datoj tački je koeficijent pravca tangente na krivu funkcije u toj tački i obično se označava sa

Znamo šta je tangenta kruga, elipse, ali šta je tangenta proizvoljne krive? Isto! Prava koja dodiruje tu krivu u tačno jednoj tački:

Sada kad nam je jasno šta je izvod, kako ćemo da ga izračunamo? Počećemo od sečice krive.

Ona će prolaziti kroz dve tačke na grafiku. Jednu ćemo staviti u traženoj tački x:

a drugu na udaljenosti Δx od nje:

Koeficijent pravca te sečice će biti:

Zašto? Setite se od prošle godine – koeficijent pravca prave kroz dve date tačke. Ako se ne sećate formule, setite se da je koeficijent pravca tangens ugla koji prava zaklapa sa x-osom, nađite pravougli trougao koji sadrži taj ugao na gornjoj slici i izračunajte njegov tangens 😉

Sad… šta će nam koeficijent pravca sečice, kad nam treba tangenta? Pogledajte sledeću animaciju: kada se Δx smanjuje, druga tačka se približava prvoj, a sečica postaje tangenta.

Želimo da Δx bude što je moguće manje. Kako to postižemo u matematici? Limesom 🙂 Dakle, definicija izvoda funkcije glasi:

Sve to važi i kod brzine. Kakve sad brzina ima veze s izvodom? Setite se, u fizici, kako ste definisali brzinu? Aha:

odnosno

Zar to ne liči na koeficijent pravca tangente? Dakle, srednja brzina je pređeni put u jedinici vremena… To je srednja brzina, a trenutna brzina? Kako nju da izračunamo? To je srednja brzina kada je „jedinica vremena“ dovoljno mala – to je onda limes:

To je isto što i definicija izvoda, samo sa drugim slovima, zar ne? Dakle, trenutna brzina je