On-line učionica

12. jul 2013.

Neprekidnost funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:50 pm

Skoro sve matematičke definicije i teoreme u okviru matematičke analize, dela matematike koji se bavi svojstvima funkcija, počinju sa:

„Neka je f(x) neprekidna na [a,b]…“

Šta to čini neku funkciju neprekidnom? Neprekidne funkcije su predvidive – nemaju:

  • vertikalnih asimptota,
  • „rupa“,
  • ni skokova

Neprekidne funkcije mogu biti nacrtane iz jednog poteza olovke:

Slika333

Funkcije sa prekidom se crtaju sa podizanjem olovke:

prekid u tački Xo

prekid u tački x0

Slika335

vertikalna asimptota u tački x0

Slika336

„skok“ u tački x0

Možemo da razmislimo o sledeća dva tvrđenja:

  1. Neprekidne funkcije nemaju prekide na grafiku, što znači da bi svi limesi morali da postoje
  2. Neprekidne funkcije nemaju prekide u domenu, što znači da bi u svakoj tački morale biti definisane

Odatle dobijamo definiciju neprekidnosti funkcije u tački:

Ako je

Formula1091

definisana u tački

Formula1060

i važi da je

Formula1097

onda funkcija f neprekidna u tački x0.

To onda možemo proširiti na ceo domen, ili neki njegov segment:

Ako je funkcija

Formula1098

neprekidna, onda za svako

Formula1099

važi

Formula1097

Ako možemo zamenom izračunati sve limese funkcije, onda je ona neprekidna.

Primer: Ispitajmo neprekidnost funkcije

Formula1100

u tački

Formula1101

Rešenje: Treba da proverimo da li je

Formula1102

Počnimo od

Formula1103

Kod limesa imamo mali problem, funkcija je drugačije definisana sa leve i sa desne strane nule, pa ćemo morati da prvo izračunamo levi i desni limes u nuli:

Formula1104

Pošto je

Formula1105

imamo da je

Formula1106

A pošto je

Formula1107

imamo da je f neprekidna u tački 0.

4 komentara »

  1. Поштована колегинице, желим да Вам укажем на грешку коју имате у тексту. Наиме, реченица да се функције са прекидом цртају са подизањем оловке једноставно није тачна. Зашто? Зато што ми испитујемо непрекидност дате ф-је само на њеном домену и НИГДЕ више (не можемо да испитујемо непрекидност ф-је тамо где није дата). На пример, функција f(x)=1/x која доста личи на слику број 2 где су приказане „прекидне“ (по Вама) функције, има за домен R \ {0} , тако да је то непрекидна ф-ја без обзира што се црта са подизањем оловке од папира. Дакле реченица облика: функција 1/x има прекид у тачки x=0 није тачна, јер ми ту и не испитујемо непрекидност због домена дефинисаности наше функције. То је врло честа грешка и самих студената Математичког факултета, тако да је не треба схватити као велики пропуст. Мада, слажем се да ученике средњих школа не треба оптерећивати са тиме.

    Велики поздрав🙂

    Komentar od Никола — 14. decembar 2013. @ 2:39 pm | Odgovor

    • Tom logikom i funkcija sa prve slike je neprekidna… A ako se ja dobro sećam tog gradiva sa studija matematike, na prvoj slici je otklonjiv prekid – prve vrste (mogli bi dodefinisati funkciju da bude neprekidna), a na drugoj neotklonjiv (druge vrste) – dodefinisanje nije moguće. Treća ni nema prekid u domenu, pa nije neprekidna i po Vašoj definiciji.
      Žao mi je, ali se ne slažem sa primedbom🙂

      Hvala Vam što pažljivo čitate moj blog😀

      Komentar od jelena100janovic — 22. decembar 2013. @ 4:05 pm | Odgovor

      • Koleginice, nije vazno da li se vi slazete ili ne slazete sa primedbom, vazno je da li ste svoj stav dokazali (a niste). Ukratko, primedba je osnovana. 1) Funkcija postoji samo u svojoj oblasti definisanosti. 2) Funkcija f: X->Y je neprekidna u tacki a iz X ako za svaku okolinu V tacke f(a) postoji okolina U tacke a tako da za svako x iz oblasti definisanosti koje pripada okolini U sledi da f(x) pripada okolini V. 3) Primenite svoju definiciju na funkciju g cija je oblast definisanosti recimo skup X={1} i g(1)=2. Da li je ova funkcija prekidna ili neprekidna? Limes u tacki 1 ne postoji (jer to nije tacka nagomilavanja oblasti definisanosti!) pa bi sledio zakljucak da je funkcija prekidna sto nije tacno. 4) Prve dve funkcije iz vaseg primera JESU NEPREKIDNE a treca ima prekid. Pozdrav.

        Komentar od Nebojsa — 18. septembar 2015. @ 12:15 pm

  2. […] Neprekidnost funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:38 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: