Skoro sve matematičke definicije i teoreme u okviru matematičke analize, dela matematike koji se bavi svojstvima funkcija, počinju sa:
„Neka je f(x) neprekidna na [a,b]…“
Šta to čini neku funkciju neprekidnom? Neprekidne funkcije su predvidive – nemaju:
- vertikalnih asimptota,
- „rupa“,
- ni skokova
Neprekidne funkcije mogu biti nacrtane iz jednog poteza olovke:
Funkcije sa prekidom se crtaju sa podizanjem olovke:
 prekid u tački x0 |
 vertikalna asimptota u tački x0 |
 „skok“ u tački x0 |
Možemo da razmislimo o sledeća dva tvrđenja:
- Neprekidne funkcije nemaju prekide na grafiku, što znači da bi svi limesi morali da postoje
- Neprekidne funkcije nemaju prekide u domenu, što znači da bi u svakoj tački morale biti definisane
Odatle dobijamo definiciju neprekidnosti funkcije u tački:
Ako je
definisana u tački
i važi da je
onda funkcija f neprekidna u tački x0.
To onda možemo proširiti na ceo domen, ili neki njegov segment:
Ako je funkcija
neprekidna, onda za svako
važi
Ako možemo zamenom izračunati sve limese funkcije, onda je ona neprekidna.
Primer: Ispitajmo neprekidnost funkcije
u tački
Rešenje: Treba da proverimo da li je
Počnimo od
Kod limesa imamo mali problem, funkcija je drugačije definisana sa leve i sa desne strane nule, pa ćemo morati da prvo izračunamo levi i desni limes u nuli:
Pošto je
imamo da je
A pošto je
imamo da je f neprekidna u tački 0.
On-line učionica 
Поштована колегинице, желим да Вам укажем на грешку коју имате у тексту. Наиме, реченица да се функције са прекидом цртају са подизањем оловке једноставно није тачна. Зашто? Зато што ми испитујемо непрекидност дате ф-је само на њеном домену и НИГДЕ више (не можемо да испитујемо непрекидност ф-је тамо где није дата). На пример, функција f(x)=1/x која доста личи на слику број 2 где су приказане „прекидне“ (по Вама) функције, има за домен R \ {0} , тако да је то непрекидна ф-ја без обзира што се црта са подизањем оловке од папира. Дакле реченица облика: функција 1/x има прекид у тачки x=0 није тачна, јер ми ту и не испитујемо непрекидност због домена дефинисаности наше функције. То је врло честа грешка и самих студената Математичког факултета, тако да је не треба схватити као велики пропуст. Мада, слажем се да ученике средњих школа не треба оптерећивати са тиме.
Велики поздрав 🙂
Komentar od Никола — 14. decembra 2013. @ 2:39 pm |
Tom logikom i funkcija sa prve slike je neprekidna… A ako se ja dobro sećam tog gradiva sa studija matematike, na prvoj slici je otklonjiv prekid – prve vrste (mogli bi dodefinisati funkciju da bude neprekidna), a na drugoj neotklonjiv (druge vrste) – dodefinisanje nije moguće. Treća ni nema prekid u domenu, pa nije neprekidna i po Vašoj definiciji.
Žao mi je, ali se ne slažem sa primedbom 🙂
Hvala Vam što pažljivo čitate moj blog 😀
Komentar od jelena100janovic — 22. decembra 2013. @ 4:05 pm |
Koleginice, nije vazno da li se vi slazete ili ne slazete sa primedbom, vazno je da li ste svoj stav dokazali (a niste). Ukratko, primedba je osnovana. 1) Funkcija postoji samo u svojoj oblasti definisanosti. 2) Funkcija f: X->Y je neprekidna u tacki a iz X ako za svaku okolinu V tacke f(a) postoji okolina U tacke a tako da za svako x iz oblasti definisanosti koje pripada okolini U sledi da f(x) pripada okolini V. 3) Primenite svoju definiciju na funkciju g cija je oblast definisanosti recimo skup X={1} i g(1)=2. Da li je ova funkcija prekidna ili neprekidna? Limes u tacki 1 ne postoji (jer to nije tacka nagomilavanja oblasti definisanosti!) pa bi sledio zakljucak da je funkcija prekidna sto nije tacno. 4) Prve dve funkcije iz vaseg primera JESU NEPREKIDNE a treca ima prekid. Pozdrav.
Komentar od Nebojsa — 18. septembra 2015. @ 12:15 pm
[…] Neprekidnost funkcije […]
Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembra 2015. @ 9:38 pm |