Osnovni trigonometrijski identiteti

Sada započinjemo deo trigonometrije pun dokaza. Počećemo od osnovnih definicija sinusa, kosinusa i tangensa, a onda će se formule (odnosno osnovni trigonometrijski identiteti) same nametnuti. Naučićemo kako da dokažemo pojedine formule, koristeći druge formule i definicije. Na kraju, rešavaćemo trigonometrijske jednačine sa nepoznatim uglom, takođe koristeći formule i definicije.

Formula za tangens

Prošle godine smo uveli tri osnovne trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus i tangens. Sve tri funkcije se mogu definisati pomoću pravouglog trougla ili jediničnog kruga.

Formula za tangens glasi:

Možemo videti da je to tačno jer je tangens jednak y / x u jediničnom krugu. Znamo da y predstavlja sinus ugla θ i da x predstavlja kosinus ugla θ. Zamenjujući sin θ umesto y i cos θ umesto x dobijamo formulu.

Primer 1: Proverite gornju formulu koristeći θ = 45°.

Rešenje: Zamenjujući 45°, imamo:

Onda ćemo izračunati vrednosti svih funkcija i uprostiti desnu stranu jednakosti.

Pošto znamo da je tg 45° = 1, identitet je tačan.

Primer 2: Pokažite da je tg 90° nedefinisan.

Rešenje: Koristeći formulu imamo:

Pošto ne možemo deliti nulom, tangens u 90° je nedefinisan.

Formule za kotangens

Prošle godine smo takođe uveli kotangens (ctg) i definisali ga kao:

Ako ponovimo postupak od malopre, dobićemo da je:

Ako sada primenimo formulu za tangens, takođe ćemo dobiti i:

Najvažniji trigonometrijski identitet

Koristeći osnovne trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus i nešto osnovnog znanja algebre možemo otkriti neke interesantne trigonometrijske veze. Obratite pažnju da kada se trigonometrijska funkcija kao što je sin θ kvadrira, postoji matematički dogovor da se to piše kao sin² θ. (sin θ² se može tumačiti kao sinus kvadrata ugla, pa se zato izbegava.)

Upotrebićemo Pitagorinu teoremu za trougao iznad:

Onda ćemo podeliti obe strane sa r²:

Onda, pošto je

i

važi

Ovaj identitet se smatra najvažnijim, jer se najviše koristi i daje važnu vezu između sinusa i kosinusa ugla.

Primer 3: Koristeći ugao od 30° pokažite da važi gornji identitet.

Rešenje: Ubacite 30° i izračunajte vrednosti sin 30° i cos 30°.

Primer 4: Ako je sin θ = -√6/5, nađite cos θ.

Rešenje: Koristeći najvažniji trigonometrijski identitet, dobijamo:

Pošto θ može pripadati i tećem i četvrtom kvadrantu, imamo dva rešenja: cos θ = ±√19/5.