On-line učionica

22. aprila 2018.

Ispitivanje grafika funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:43 pm

U ovoj lekciji ćemo obnoviti sve što smo naučili o ispitivanju grafika funkcija. Pokazaćemo kako se ove različite metode koriste za ispitivanje ponašanja funkcije i kako će nam pomoći da skiciramo grafike primera reprezentativnih funkcija, posebno racionalnu, korenu i trigonometrijske funkcije.

Informacije koje prikupimo o funkcijama prikazaćemo u obliku liste tačaka koje ispitujemo, koja će nam predstavljati šemu za organizaciju rezultata.

  1. Domen funkcije – bez njega ne možemo, pokazuje nam u kojim tačkama je funkcija definisana.
  2. Parnost i periodičnost funkcije – pomaže nam da suzimo interval ispitivanja funkcije, ako je to moguće.
  3. Asimptote funkcije – određuju ponašanje funkcije na krajevima domena.
  4. Nule i znak funkcije – određuje kada je grafik funkcije iznad, a kada ispod x-ose.
  5. Monotonost funkcije – prvi izvod funkcije precizira intervale rašćenja i opadanja funkcije, kao i lokalne maksimume i minimume.
  6. Grafik funkcije – krajnji ishod prethodnog rada.

Primer 1: (Racionalna funkcija) Ispitajmo funkciju

Formula1344

Rešenje: Kako idemo redom kroz tačke, možemo dopunjavati grafik. Ovde ćemo ga videti kompletnog, a vi zamislite da je nastajao deo po deo, kako piše…Slika344

Domen funkcije

Formula1345

Dakle, grafik postoji u svim tačkama sem za x = 4.

Parnost i periodičnost funkcije

Formula1346

Funkcija nije ni parna, ni neparna, ni periodična, pa nam ova tačka ne pomaže za nastavak ispitivanja.

Asimptote funkcije

Formula1347

Sada možemo nacrtati vertikalnu asimptotu i delove grafika do nje. Da vidimo šta se dešava u beskonačnosti:

Formula1348

Možemo dodati i horizontalnu asimptotu.

Nule i znak funkcije

Formula1349

Nulu smo dobili, možemo je odnah ucrtati u grafik, a znak ćemo predstaviti tablicom. Ne zaboravite tačku prekida domena!

x-2 2 + 4 +
x-4 2 4 +
f(x) + 2 4 +

Posle ovoga možemo dodati i ponašanje funkcije oko dvojke.

Monotonost funkcije

Formula1350

Ovde i bez tablice možemo odrediti znak prvog izvoda. Brojilac je uvek negativan, a imenilac uvek pozitivan, jer je kvadrat nekog broja. Zaključujemo da je funkcija uvek opadajuća i da nema ekstremne vrednosti.

Primer 2: (Korena funkcija) Ispitajmo funkciju

Rešenje: Opet krećemo redom…

Domen funkcije

Parnost i periodičnost funkcije Pošto domen nije simetričan, funkcija ne može biti ni parna ni neparna, a nije ni periodična.

Asimptote funkcije U tački x = 1/2 imamo vrednost y = 0, a u bekonačnosti

Nule i znak funkcije Nulu smo već dobili na početku domena, a funkcija je pozitivna, jer je korena.

Monotonost funkcije Prvi izvod je

i uvek je pozitivan, pa je funkcija uvek rastuća.

Primer 3: (Trigonometrijska funkcija) Ispitajmo grafik funkcije:

Rešenje: Dakle, redom…

Domen funkcije Ova funkcija nema ograničenja domena, pa je domen ceo skup R.

Parnost i periodičnost funkcije

Funkcija je neparna, pa je dovolno ispitati je za x > 0, grafik je na drugoj strani simetričan u odnosu na koordinatni početak. Pošto imamo sinusnu funkciju, moramo ispitati i periodičnost:

Asimptote funkcije

Funkcija nema asimptote, mada ima jednu pravu (y = x) oko koje se „vrti“.

Nule i znak funkcije

Rešavanje ove jednačine prevazilazi naše trenutno znanje. Mada, ako nacrtate levu i desnu stranu na istom grafiku, videće da postoje tri nule: x = 0, jedna pozitivna koju ne umemo da izračunamo (ali znamo da postoji) i jedna negativna, simetrična. Čak možemo i ispitati znak:

f(x) 0 N1 +

Monotonost funkcije Prvi izvod je

On je jednak nuli za

pa monotonost možemo prikazati „beskonačnom“ tablicom:

x ∈ (0, π/3) = π/3 ∈ (π/3, 2π-π/3) = 2π-π/3 ∈ (2π-π/3, 2π+π/3)
f'(x) 0 + 0
f(x) \ minimum / maksimum \
Advertisements

2 komentara »

  1. […] Analiziranje grafika funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 22. aprila 2018. @ 10:46 pm | Odgovor

  2. Jako lepa lekcija!

    Komentar od MileticJ — 23. aprila 2018. @ 8:10 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se /  Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se /  Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se /  Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se /  Promeni )

w

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: