On-line učionica

16. aprila 2018.

Korišćenje izvoda kod ispitivanja funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:02 am

Počećemo od nekoliko definicija koje će nam pomoći da razjasnimo šta znači kada kažemo da funkcija raste ili opada na nekom intervalu. Onda ćemo videti kako nam izvod funkcije može pomoći da ovo izračunamo.


Definicije: Za funkciju f kažemo da raste na intervalu [a, b] koji se sadrži u domenu funkcije f, ako

Ako važi

onda kažemo da f strogo raste na intervalu [a, b]. Slično, za funkciju f kažemo da opada na intervalu [a, b] koji se sadrži u domenu funkcije f, ako

Ako važi

onda kažemo da f strogo opada na intervalu [a, b].


Ako se setimo da izvod funkcije u stvari predstavlja koeficijent pravca tangente krive i da je pozitivan kada ta tangenta zaklapa oštar ugao sa pozitivnim delom x-ose, možemo zaključiti da ako funkcija raste, njen izvod će biti pozitivan:

Važi i obrnuto.


Teorema: Ako je f neprekidna na intervalu [a, b] i diferencijabilna na intervalu (a, b) onda:

  1. Ako je f‘(x) > 0 za sve x ∈ (a, b), onda f raste na [a, b].
  2. Ako je f‘(x) < 0 za sve x ∈ (a, b), onda f opada na [a, b].

Primer 1: Nađimo intervale na kojima f raste i intervale na kojima f opada, za funkciju

Rešenje: Ova funkcija je neprekidna na celom domenu (-∞, +∞). Njen izvod je

Kada je on 0?

Dakle, imamo tri intervala određena rešenjima kvadratne jednačine, koji nam daju sledeće informacije:

 x ∈ (-∞, 1 – √3) = 1 – √3  ∈ (1 – √3, 1 + √3) = 1 + √3 ∈ (1 + √3, +∞)
 f‘(x) > 0 = 0 < 0 = 0 > 0
 f(x) raste / ? opada \ ? raste /

Mesta gde smo stavili upitnike smo već naučili da su kritične tačke i mogu predstavljati ekstremne vrednosti funkcije. Ako zamislimo grafik u pravcu kosih linija kada funkcija raste i kada opada, jasno je da će na mestu prvog upitnika biti lokalni maksimum, a na mestu drugog, lokalni minimum. Evo i teoreme koja to potvrđuje.


Teorema: Pretpostavimo da je f neprekidna funkcija i da je x = c njena kritična vrednost. Tada važi:

  1. Ako f‘ menja znak iz pozitivnog u negativan u x = c, onda f ima lokalni maksimum u x = c.
  2. Ako f‘ menja znak iz negativnog u pozitivan u x = c, onda f ima lokalni minimum u x = c.
  3. Ako f‘ ne menja znak u x = c, onda f nema ni lokalni maksimum ni lokalni minimum u x = c.

Primer 2: Nađimo ekstremne vrednosti funkcije:

Rešenje: Funkcija je neprekidna na domenu (-∞, +∞). Prvo izvod:

Pa kritične tačke:

Tabelica sa intervalima:

 x ∈ (-∞, -1) = -1  ∈ (-1, 1) = 1 ∈ (1, +∞)
 f‘(x) > 0 = 0 < 0 = 0 > 0
 f(x) / max \ min /

Dakle, za x = -1 imamo lokalni maksimum, a za x = 1, lokalni minimum.

Primer 3: Ispitajmo monotonost funkcije

Rešenje: Ova funkcija je neprekidna na svom domenu (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Sada izvod:

Kritične tačke nema, jer je izvod uvek negativan. Dakle, funkcija opada na svom domenu. Pazite: ne i u x = 3, jer tu ne postoji!

Primer 4: Nađimo koordinate ekstremnih vrednosti funkcije:

Rešenje: Funkcija je neprekidna na svom domenu (-∞, +∞). Prvi izvod:

Kritične tačke:

Vrednosti funkcije:

Tabelica:

 x ∈ (-∞, -1/2) = -1/2  ∈ (-1/2, 2) = 2 ∈ (2, +∞)
 f‘(x) > 0 = 0 < 0 = 0 > 0
 f(x) / max = 5 \ min = 0 /

Dakle, funkcija ima lokalni maksimum u tački M1(-1/2, 5) i lokalni minimum u tački M2(2, 0).

Advertisements

1 komentar »

  1. […] Korišćenje izvoda kod ispitivanja funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 22. aprila 2018. @ 5:40 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se /  Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se /  Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se /  Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se /  Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: