Pojam izvoda funkcije

Setite se od prošle godine, koeficijent pravca prave kroz dve date tačke je

Naravno, ako pustimo da x₁ teži x₀ onda će Q težiti P duž grafika y = f(x), pa će zato koeficijent prave (sečice krive) težiti koeficijentu tangente krive.

Zato će gornja formula postati

Da bi uprostili oznake, ako kažemo da je x₁ = x₀ + Δx, onda će x₁ → x₀ postati Δx → 0.

To znači da će naša formula postati formula za koeficijent pravca tangente u tački

pod uslovom da postoji granična vrednost.

Setimo se još formule za pravu kroz datu tačku sa poznatim koeficijentom pravca

Primer 1: Nađimo tangentu krive

koja prolazi kroz tačku P(2, 8).

Rešenje: Prvo ćemo upotrebiti formulu za koeficijent pravca:

Onda ćemo upotrebiti formulu za pravu

Funkcija f'(x) („ef prim od iks“) koju smo malopre definisali je toliko važna da ima svoje ime: izvod.

---

Definicija: Funkcija f'(x) definisana formulom

se naziva izvod funkcije f(x).

---

Domen funkcije f'(x) su sve vrednosti promenljive x za koje je gornji limes definisan.

Na osnovu gornje diskusije, možemo reći da izvod f’ predstavlja koeficient pravca tangente krive y = f(x) u tački x. Drugi način da kažemo istu stvar je da funkcija y = f(x) ima izvod f’ čija vrednost u tački x jeste trenutna brzina promene y u odnosu na x.

Jedan od dva osnovna zadatka matematičke analize uključuje računanje promene jedne veličine u odnosu na drugu. Na primer, brzina se definiše kao promena položaja tela u odnosu na vreme. Ako neko pređe 120 km za 4 sata, njegova brzina je

Ova brzina se naziva srednja ili prosečna brzina. Naravno onaj koji putuje 120 km brzinom od 30 km/h i tako 4 sata verovatno to ne radi konstantno. Verovatno je za ta 4 sata usporavao, stajao na semaforima i naplatnim rampama i ubrzavao, ali je u proseku putovao 30 km/h. Sa druge strane, ako vozač udari u drvo, verovatnoću njegovog preživljavanja ne određuje prosečna, nego brzina u trenutku udara. Slično, kada metak udari u metu, nije bitna prosečna, nego trenutna brzina u trenutku udara. Dakle, imamo dve različite brzine, prosečnu i trenutnu.

Prosečna brzina objekta se definiše kao promena položaja objekta podeljena sa proteklim vremenom za koje se pomeranje desilo:

Ako pažljivo pogledamo formulu, primetićemo da ima isti oblik kao jednačina za koeficijent pravca kroz dve tačke.

Trenutna brzina je, srednja brzina kada je proteklo vreme jako malo, teži nuli:

To neodoljivo liči na izvod funkcije, zar ne?

Primer 2: Neka je dat zakon puta:

Nađimo prosečnu brzinu u prve dve sekunde i trenutnu brzinu u prvoj sekundi.

Rešenje: Primenjujući gornju formulu za prosečnu brzinu između trenutka t = 0 i t = 2, dobijamo:

a za trenutnu u trenutku t = 1:

Do sada smo pokazali da funkcija f'(x) predstavlja dve važne karakteristike funkcije y = f(x):

1. koeficijent pravca tangente u tački x i
2. trenutnu brzinu promene y u odnosu na x.

Ove dve karakteristike su toliko važne da f'(x) ima svoje ime, izvod.

Matematička analiza, kao i sve druge grane matematike ima puno oznaka. Postoji mnogo načina da se označi izvod funkcije y = f(x). Evo nekih:

Dodatno, kada zamenimo vrednost tačke x, oznake su:

Ispod definicije izvoda funkcije smo rekli da izvod postoji u svim tačkama u kojima postoji limes i u tim tačkama kažemo da je funkcija diferencijabilna. Ako u nekoj tački limes iz definicije ne postoji, kažemo da funkcija u toj tački nije diferencijabilna.

Ako izvod posmatramo kao koeficijent tangente, znači da bi u nekoj tački funkcija bila diferencijabilna, u toj tački mora postojati tangenta. Kakve to veze ima sa neprekidnošću funkcije? Da li je moguće da funkcija bude diferencijabilna u nekoj tački, da ima tangentu, a da nije neprekidna u toj tački? Odgovor daje sledeća teorema.

---

Teorema: Ako je f diferencijabilna u x, onda je f neprekidna u x.

---

Obrnuto ne mora da važi. Funkcije mogu imati špic, ugao ili vertikalnu tangentu i biti neprekidne, ali u tim tačkama neće biti diferencijabilne.

Primer 3: Koristeći izvod, dokazati da je funkcija

neprekidna u tački x = -5.

Rešenje: Koristeći definiciju izvoda, imamo:

Pošto je f diferencijabilna u x = -5, na osovu gornje teoreme, ona je i neprekidna u x = -5.

Advertisements