Setite se od prošle godine, koeficijent pravca prave kroz dve date tačke je
Naravno, ako pustimo da x1 teži x0 onda će Q težiti P duž grafika y = f(x), pa će zato koeficijent prave (sečice krive) težiti koeficijentu tangente krive.
Zato će gornja formula postati
Da bi uprostili oznake, ako kažemo da je x1 = x0 + Δx, onda će x1 → x0 postati Δx → 0.
To znači da će naša formula postati formula za koeficijent pravca tangente u tački
pod uslovom da postoji granična vrednost.
Setimo se još formule za pravu kroz datu tačku sa poznatim koeficijentom pravca
Primer 1: Nađimo tangentu krive
koja prolazi kroz tačku P(2, 8).
Rešenje: Prvo ćemo upotrebiti formulu za koeficijent pravca:
Onda ćemo upotrebiti formulu za pravu
Funkcija f'(x) („ef prim od iks“) koju smo malopre definisali je toliko važna da ima svoje ime: izvod.
Definicija: Funkcija f'(x) definisana formulom
se naziva izvod funkcije f(x).
Domen funkcije f'(x) su sve vrednosti promenljive x za koje je gornji limes definisan.
Na osnovu gornje diskusije, možemo reći da izvod f’ predstavlja koeficient pravca tangente krive y = f(x) u tački x. Drugi način da kažemo istu stvar je da funkcija y = f(x) ima izvod f’ čija vrednost u tački x jeste trenutna brzina promene y u odnosu na x.
Jedan od dva osnovna zadatka matematičke analize uključuje računanje promene jedne veličine u odnosu na drugu. Na primer, brzina se definiše kao promena položaja tela u odnosu na vreme. Ako neko pređe 120 km za 4 sata, njegova brzina je
Ova brzina se naziva srednja ili prosečna brzina. Naravno onaj koji putuje 120 km brzinom od 30 km/h i tako 4 sata verovatno to ne radi konstantno. Verovatno je za ta 4 sata usporavao, stajao na semaforima i naplatnim rampama i ubrzavao, ali je u proseku putovao 30 km/h. Sa druge strane, ako vozač udari u drvo, verovatnoću njegovog preživljavanja ne određuje prosečna, nego brzina u trenutku udara. Slično, kada metak udari u metu, nije bitna prosečna, nego trenutna brzina u trenutku udara. Dakle, imamo dve različite brzine, prosečnu i trenutnu.
Prosečna brzina objekta se definiše kao promena položaja objekta podeljena sa proteklim vremenom za koje se pomeranje desilo:
Ako pažljivo pogledamo formulu, primetićemo da ima isti oblik kao jednačina za koeficijent pravca kroz dve tačke.
Trenutna brzina je, srednja brzina kada je proteklo vreme jako malo, teži nuli:
To neodoljivo liči na izvod funkcije, zar ne?
Primer 2: Neka je dat zakon puta:
Nađimo prosečnu brzinu u prve dve sekunde i trenutnu brzinu u prvoj sekundi.
Rešenje: Primenjujući gornju formulu za prosečnu brzinu između trenutka t = 0 i t = 2, dobijamo:
a za trenutnu u trenutku t = 1:
Do sada smo pokazali da funkcija f'(x) predstavlja dve važne karakteristike funkcije y = f(x):
- koeficijent pravca tangente u tački x i
- trenutnu brzinu promene y u odnosu na x.
Ove dve karakteristike su toliko važne da f'(x) ima svoje ime, izvod.
Matematička analiza, kao i sve druge grane matematike ima puno oznaka. Postoji mnogo načina da se označi izvod funkcije y = f(x). Evo nekih:
Dodatno, kada zamenimo vrednost tačke x, oznake su:
Ispod definicije izvoda funkcije smo rekli da izvod postoji u svim tačkama u kojima postoji limes i u tim tačkama kažemo da je funkcija diferencijabilna. Ako u nekoj tački limes iz definicije ne postoji, kažemo da funkcija u toj tački nije diferencijabilna.
Ako izvod posmatramo kao koeficijent tangente, znači da bi u nekoj tački funkcija bila diferencijabilna, u toj tački mora postojati tangenta. Kakve to veze ima sa neprekidnošću funkcije? Da li je moguće da funkcija bude diferencijabilna u nekoj tački, da ima tangentu, a da nije neprekidna u toj tački? Odgovor daje sledeća teorema.
Teorema: Ako je f diferencijabilna u x, onda je f neprekidna u x.
Obrnuto ne mora da važi. Funkcije mogu imati špic, ugao ili vertikalnu tangentu i biti neprekidne, ali u tim tačkama neće biti diferencijabilne.
Primer 3: Koristeći izvod, dokazati da je funkcija
neprekidna u tački x = -5.
Rešenje: Koristeći definiciju izvoda, imamo:
Pošto je f diferencijabilna u x = -5, na osovu gornje teoreme, ona je i neprekidna u x = -5.
[…] Pojam izvoda funkcije […]
Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 7. februara 2018. @ 12:59 am |