On-line učionica

7. decembra 2017.

Pojam beskonačnosti, asimptote

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:18 am

Do sada znamo da simbol beskonačnosti ∞ predstavlja oznaku jako velikog broja. Podvlačim još jednom da to nije konkretna vrednost, već samo oznaka za neki baš veliki broj. Kakve sada to ima veze sa graničnim vrednostima? Beskonačnost u limesima se može naći na dve pozicije. Evo jedne:


Definicija: Neka je funkcija f definisana za neke velike brojeve. Ako za svaku okolinu tačke A postoji dovoljno veliki broj M, takav da, čim je x > M, f(x) pripada okolini tačke A, tada broj A nazivamo graničnom vrednošću funkcije f kada x teži beskonačno i pišemo


A evo i druge:


Definicija: Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tačke x0. Ako za svaki broj M postoji okolina tačke x0, takva da čim x pripada toj okolini tačke x0, sledi da je f(x) veće od M, tada kažemo da funkcija f teži beskonačnosti kada x teži x0 i pišemo:


Moguće je naći granične vrednosti i preko definicija, ali mi ćemo se ovde poslužiti nekim „trikovima“.

Primer 1: Nađimo:

Rešenje: Ako bismo pokušali da zamenimo beskonačnost, dobili bismo ∞ / ∞, što je neodređen izraz, jer ne znamo koliko veliki brojevi se kriju iza oznaka beskonačnosti. Međutim, ako i brojilac i imenilac razlomka podelimo sa x6, dobićemo:

Ovde ću podsetiti na početak teksta – znak beskonačnosti je samo znak i predstavlja neki mnogo veliki broj. Znači, smemo da ga zamenimo umesto x i dobijamo:

Dakle, u ovom primeru smo iskoristili jedan „trik“, a to je da u slučaju da zamenom dobijamo oblik „∞ / ∞“, treba da „skratimo“ razlomak najvećim stepenom od x.

Primer 2: Da li postoji

Rešenje: Sećate se da je uslov da neki limes postoji taj da postoje levi i desni limes i da su međusobno jednaki. Da vidimo desni limes:

Već ovde možemo zaključiti da traženi limes ne postoji, jer, opet, beskonačnost nije konkretan broj, pa ne može biti jednaka nečemu.

I dve gornje definicije i dva donja primera nas dovode do zaključka da se nešto interesantno dešava sa funkcijama kada se pojavi beskonačnost. U prvom primeru smo imali da kada x teži beskonačno, funkcija teži nuli, to jest pravoj y = 0, ali je nikada ne dostiže. U drugom primeru, kada x teži jedinici sa desne strane, funkcija teži beskonačnosti, što znači da se približava pravoj x = 1, ali je nikada ne dostiže. Takve prave se nazivaju asimptote i definišu na sledeći način:


Definicija: Za pravu x = a kažemo da je vertikalna asimptota grafika funkcije f ako je


Definicija: Za pravu y = b kažemo da je horizontalna asimptota grafika funkcije f ako je


Kako i gde uopšte tražimo asimptote? One ne mogu postojati u tačkama u kojima postoji vrednost funkcije, znači da se traže u tačkama u kojima funkcija nije definisana, pa to zovemo ispitivanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti.

Primer 3: Ispitajmo ponašanje funkcije

na krajevima oblasti definisanosti.

Rešenje: Prvo moramo odrediti oblast definisanosti, odnosno domen date funkcije:

Dakle:

Vertikalnu asimptotu ćemo potražiti u konačnoj granici domena, tački x = 2:

Funkcija ima vertikalnu asimptotu x = 2.

Horizontalnu asimptotu tražimo u beskonačnosti:

Funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 1.

Postoje i kose asimptote.


Definicija: Za pravu y = kx + n kažemo da je kosa asimptota grafika funkcije f ako je


Da bismo našli kosu asimptotu, ne možemo koristiti definiciju, već sledeću teoremu.


Teorema: Da bi grafik funkcije f imao kosu asimptotu y = kx + n, potrebno je i dovoljno da postoje:


Znam da sada očekujete primer… ali neće ga biti. O kosim asimptotama samo informacija, a kako se nalaze – možda za neku veću ocenu 😉

Advertisements

1 komentar »

  1. […] Pojam beskonačnosti, asimptote […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 7. decembra 2017. @ 9:20 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se /  Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se /  Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se /  Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se /  Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: