On-line učionica

25. novembra 2017.

Pojam i osobine granične vrednosti funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:44 pm

Ovog puta ćemo krenuti od primera.

Primer 1: Šta mislite, kolika je vrednost funkcije f(x) za x = 0?

Rešenje: Ako probamo da računamo…

stići ćemo do deljenja nulom, a to je nedozvoljeno. Znači, ova funkcija nema vrednost u x = 0. Ali ima u nekoj okolini nule:

x -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 0 0,00001 0,0001 0,001 0,01
f(x) 5,984962 5,9985 5,99985 5,999985 Nedefinisano 6,000015 6,00015 6,0015  6,014963

Ako pogledamo tablicu, možemo pretpostaviti da je vrednost funkcije f u okolini tačke 0 jako blizu broju 6. To se zove granična vrednost ili limes i piše se ovako:

Evo sada i definicije…


Definicija: Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tačke x0. Broj A nazivamo graničnom vrednošću funkcije f kada x teži x0, ako za svaku okolinu tačke A postoji okolina tačke x0, takva da čim je x u okolini x0 sledi da je f(x) u okolini A. Simbolički to obeležavamo ovako:


A evo i još dve, kada x teži x0 sa leve, odnosno desne strane …


Definicija: Broj A nazivamo levom graničnom vrednošću funkcije f u tački x0, ako za svaku okolinu tačke A postoji leva okolina tačke x0, takva da čim je x u levoj okolini x0 sledi da je f(x) u okolini A. Levu graničnu vrednost označavamo sa:



Definicija: Broj A nazivamo desnom graničnom vrednošću funkcije f u tački x0, ako za svaku okolinu tačke A postoji desna okolina tačke x0, takva da čim je x u desnoj okolini x0 sledi da je f(x) u okolini A. Desnu graničnu vrednost označavamo sa:


Ove definicije su nam trebale da bismo utvrdili kada granična vrednost uopšte postoji. Za to nam služi teorema.


Teorema: Ako za funkciju f postoje leva i desna granična vrednost kada x teži x0 i iznose A, tada postoji i granična vrednost funkcije f kada x teži x0 i takođe iznosi A:


Primer 2: Na osnovu grafika funkcije f

odredimo:

Rešenje: Za prva dva pitanja, odgovor možemo pročitati sa grafika:

Pošto levi i desni limes postoje, ali nisu jednaki, limes funkcije f kada x teži 2 ne postoji. Takođe sa grafika čitamo da je vrednost funkcije f(2) = 1.

Osnovne osobine graničnih vrednosti su date teoremom.


Teorema: Ako je

tada važe sledeća svojstva graničnih vrednosti:


Primer 3: Izračunajmo graničnu vrednost

Rešenje: Prethodna teorema nam, u stvari, omogućava da prosto zamenimo vrednost kojoj x teži u izrazu za funkciju. Napominjem ovde da neke granične vrednosti nije moguće tako izračunati. Dakle, imamo

Primer 4: Izračunajmo graničnu vrednost

Rešenje: Ponovo možemo samo zameniti

Primer 5: Izračunajmo graničnu vrednost

Rešenje: I opet

Advertisements

1 komentar »

  1. […] Pojam i osobine granične vrednosti funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 1. decembra 2017. @ 9:03 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se /  Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se /  Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se /  Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se /  Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: