On-line učionica

11. novembra 2017.

Funkcije i njihove osnovne osobine

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:32 pm

Krenimo od definicije – šta je to funkcija?


Definicija: Neka su A i B neprazni skupovi i neka je svakom x iz A dodeljen po izvesnom zakonu f tačno jedan element iz B. Tada kažemo da je na skupu A definisana funkcija f sa vrednostima u skupu B.


Šta ovo u stvari znači? Da pogledamo na primeru:

Neka su skupovi A i B skupovi svih prirodnih brojeva i neka je zakon f: „pomnoži broj sa 3“. Tada je svakom broju x iz A, kada ga pomnožimo sa 3, dodeljen tačno jedan broj y iz B. To znači da je pravilo „pomnoži broj sa 3“ definicija jedne funkcije na skupu prirodnih brojeva sa vrednostima koji su takođe prirodni brojevi.

U matematici, funkcije ne zadajemo rečima. Možete li sami da se setite kako sve zadajemo funkciju?

Primer 1: Zadati funkciju „pomnoži broj sa 3“ na skupu realnih brojeva: u obliku skupa uređenih parova, analitički i grafički.

Rešenje: Skup uređenih parova podrazumeva da ne možemo predstaviti sve elemente oblasti definisanosti:

Analitički znači predstaviti funkciju u obliku formule:

Grafički podrazumeva da nacrtamo funkciju u koordinatnom sistemu, za šta nam pomaže tablica koju direktno možemo prepisati iz skupa uređenih parova, a onda treba iz analitičkog zapisa da prepoznamo o kojoj vrsti funkcije se radi i da na osnovu toga nacrtamo grafik. Ovde je u pitanju linearna funkcija, što znači da joj je grafik prava:

Primer 2: Da li su sledeći načini predstavljanja funkcije i ako jesu, da li su „1-1“ i „na“:

a) b) c) d)

Rešenje: a) Ovo nije funkcija, jer se npr. nula slika i u -3 i u 3.

b) Ovo jeste funkcija i to kvadratna. Nije „1-1“, jer se i npr. -1 i 1 slikaju u 1. Bila bi „na“ kada bi skup vrednosti definisali sa [0, ∞).

c) Ovo nije funkcija, jer se 5 slika i u 11 i u 12.

d) Ovo jeste funkcija, jer se svaki broj slika u tačno jedan – ili 2 ili 5. Nije „1-1“ jer se svi neparni brojevi slikaju u 2. Bila bi „na“ kada bi skup vrednosti definisali sa {2, 5}.

Primer 3: Naći oblast definisanosti i skup vrednosti sledećih funkcija:

a)

b)

c)

d)

Rešenje: a) Ovo je baš lako:

b) Svaki realan broj možemo kvadrirati, ali kvadrat broja je uvek nenegativan broj, pa je:

c) Kvadratni koren možemo vaditi samo iz nenegativnih brojeva, a i rezultat je uvek nenegativan broj, pa je:

d) Ne smemo deliti nulom, niti rezultat deljenja može biti nula, sem ako je deljenik nula, a nije, jer je 2. Dakle:

Kao što možete primetiti iz poslednjeg primera, oblast definisanosti i skup vrednosti smo najčešće predstavljali intervalima (otvorenim, zatvorenim i poluotvorenim) i tako će biti i ubuduće, jer su ove godine tema funkcije, ali samo one definisane na nekom intervalu skupa realnih brojeva, sa vrednostima koje su takođe realni brojevi. One se nazivaju realne funkcije realne promenljive.

Primer4: Skicirajmo grafik funkcije

na intervalu [-4, 12).

Rešenje: Ovo je linearna funkcija, pa joj je grafik prava. Dovoljno je da odredimo vrednost funkcije na krajevima intervala definisanosti:

Sada samo povedemo računa da je interval otvoren kod broja 12 i možemo skicirati grafik:

Advertisements

1 komentar »

  1. […] Funkcije i njihove osnovne osobine […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 11. novembra 2017. @ 12:33 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se /  Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se /  Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se /  Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se /  Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: