On-line učionica

31. oktobar 2016.

Piramida i kupa

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:06 pm

Ovde ćemo „izvesti“ formule za zapreminu piramida (i kupa).

Da se podsetimo: piramida je telo sa mnogougaonom osnovom i trougaonim bočim stranama koje se sastaju u temenu. Piramide se imenuju na osnovu oblika baze.

Slika277

Već ste videli formulu za zapreminu piramide:

Formula1795

Ali, odakle nam ova formula? Da se podsetimo: kada smo nalazili zapreminu prizme ili valjka, morali smo da nađemo površinu osnove i pomnožimo je sa visinom:

Formula1789

Razlika između ove dve formule je u deljenju sa 3. Odakle baš 3? Setimo se Kavalijerijevog principa dok istražujemo pravilnu četvorostranu piramidu …

Dve pravilne piramide su konstruisane u kockama iste veličine:

slika691

Vrh piramide sa leve strane se nalazi u sredini strane kocke. Vrh piramde sa desne strane se nalazi u jednom od temena kocke. Imaju li ove piramide istu zapreminu?

slika692

Pošto horizontalni preseci imaju istu površinu, visine su iste i osnove su podudarne, ove piramide moraju imati istu zapreminu, na osnovu Kavalijerovog principa.

Koliko ovakvih piramida je potrebno da se napuni kocka? Možete li to da zamislite?

slika693

Trebaće nam 3 takve piramide.

slika694

Pa, zašto je onda zapremina piramide

Formula1795

Zapremina pravilne četvorostrane prizme je

formula3104

U kocku staju tri podudarne piramide, pa zapremina svake od njih mora biti trećina zapremine kocke. Zato je zapremina piramide jednaka trećini zapremine odgovarajuće prizme:

formula3105

Napomena: Ovo je neformalni argument, a ne dokaz.

Možda ste primetili da ima malu „rupu“ u objašnjenju kada smo sa kocke „skočili“ na pravilnu četvorostranu prizmu, a i nisu sve piramide četvorostrane!

Formalno izvođenje ove formule nije moguće bez poznavanja matematičke analize, što je tema tek naredne školske godine.

1 komentar »

  1. […] Piramida i kupa […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za treći razred | On-line učionica — 31. oktobar 2016. @ 8:08 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: