On-line učionica

25. avgust 2016.

Četvorouglovi

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 3:45 pm

Četvorougao je mnogougao sa četiri stranice. Pet specijalnih četvorouglova su prikazani u sledećoj tabeli svojim definicijama i slikama.

Četvorougao Definicija Slika
Paralelogram Četvorougao sa dva para paralelnih stranica  Slika628
 Pravougaonik  Četvorougao sa četiri prava ugla  Slika629
 Romb Četvorougao sa četiri podudarne stranice Slika630
Kvadrat  Četvorougao sa četiri prava ugla i četiri podudarne stranice Slika631
 Deltoid Četvorougao sa dva para susednih međusobno podudarnih stranica  Slika632

Formalne definicije ovih četvorouglova daju samo po jednu informaciju o njima. Svaki od njih ima i druge osobine koje mogu biti dokazane. Na primer, iako je paralelogram definisan kao četvorougao sa dva para paralelnih stranica, moguće je dokazati da su paralelne stranice međusobno podudarne.

Pretpostavimo da nam je dat četvorougao za koji mislimo da je paralelogram. Možemo to dokazati pokazujući da su mu naspramne stranice paralelne, ali možemo upotrebiti i bilo koju drugu osobinu paralelograma.

U sledećih nekoliko primera ćemo pokazati kako to funkcioniše za paralelograme. Ostale osobine četvorouglova možete dokazati i sami.

Primer 1: Dokažimo da su naspramne stranice paralelograma međusobno podudarne.

Rešenje: Trebaće nam skica. Polazimo od toga da su stranice paralelne, a treba da dokažemo da su podudarne. Podudarnost najčešće dokazujemo podudarnim trouglovima, pa će nam trebati dva. Za to ćemo iskoristiti dijagonalu paralelograma:

Slika633Evo sada i dokaza:

Formula3059

Primer 2: Hajde sada da dokažemo obrnuto: ako četvorougao ima dva para podudarnih stranica, mora da je reč o paralelogramu.

Rešenje: Ponovo nam treba skica, ista kao u prethodnom primeru:

Slika633Dokaz je suštinski obrnut od prethodnog:

Formula3060

Primer 3: Dokažimo da su naspramni uglovi paralelograma međusobno podudarni.

Rešenje: I ovaj dokaz je vrlo sličan dokazu u prvom primeru:

Slika633Dokaz:

Formula3061

Primer 4: Dokažimo da se dijagonale paralelograma međusobno polove.

Rešenje: Ovde ćemo imati malo drugačiju skicu, pošto nam trebaju obe dijagonale:

Slika634Dokaz je sličan, jedino što ćemo koristiti ove manje trouglove:

Formula3062

Sada ćemo se kroz nekoliko primera podsetiti nekih važnih osobina ostalih vrsta četvorouglova.

Primer 5: Nađimo obim romba čije dijagonale su dužina 6 i 8.

Rešenje: Evo skice:

Slika635Osobine kojih smo trebali da se setimo je da je romb paralelogram, pa se dijagonale međusobno polove i da se dijagonale romba seku pod pravim uglom, pa možemo koristiti Pitagorinu teoremu:

Formula3063

Dakle, obim je

Formula3064

Primer 6: Neka je dat paralelogram ABCD i neka su E, F, G i H središta, redom, stranica AD, AB, CD i CB. Kakav četvorougao je EFGH? Dokažimo to.

Rešenje: Treba nam skica:

Slika636Izgleda da je mali četvorougao takođe paralelogram. Hajde da to dokažemo. Najlakše nam je da dokažemo podudarnost naspramnih stranica:

Formula3065

Primer 7: Koji je ovo četvorougao?

Slika637Rešenje: Ne, nije kvadrat! Nismo sigurni da li su uglovi pravi. Ali, sigurno jeste romb.

1 komentar »

  1. […] Četvorouglovi […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za treći razred | On-line učionica — 4. septembar 2016. @ 9:16 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: