On-line učionica

22. avgust 2016.

Trouglovi

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:42 pm

Trougao je geometrijska figura u ravni sa tačno tri stranice.

Po dužini stranica, klasifikujemo ih na raznostrane, jednakokrake i jednakostranične.

Po uglovima, klasifikujemo ih na pravougle, oštrougle i tupougle.

U par narednih primera, dokazaćemo neke teoreme o trouglovima.

Primer 1: Dokažimo da je zbir uglova u trouglu 180°.

Rešenje: Ovaj dokaz uključuje paralelnost i naizmenične uglove. Aksioma o paralelnosti kaže da se kroz datu tačku van date prave može povući tačno jedna prava koja je paralelna datoj. Upravo to ćemo i uraditi.

Slika621Evo i dokaza:

Formula3053

Primer 2: Dokažimo da su uglovi na osnovici jednakokrakog trougla međusobno podudarni.

Rešenje: Ovo ćemo dokazati preko simetrale ugla pri vrhu jednakokrakog trougla, mada ima i drugih načina. Da skiciramo …

Slika622Evo i dokaza:

Formula3054

Primer 3: Dokažimo da je mera spoljašnjeg ugla trougla jednaka zbiru mera njemu dva nesusedna unutrašnja ugla.

Rešenje: Ovo je relativno lako, evo skice …

Slika623i dokaza …

Formula3055

Težišna duž trougla je duž koja spaja teme trougla sa središtem naspramne stranice. Kada nacrtate sve tri težišne duži u istom trouglu, dešava se nešto interesantno. Pustiću Vas da se sami setite šta.

Visina trougla je prava kroz jedno teme trougla koja je normalna na naspramnu stranicu. I sve tri visine istog trougla prave interesantnu sliku. Setite se sami!

Setite se da je simetrala duži prava koja prolazi kroz središte te duži pod pravim uglom. Šta se dešava sa simetralama stranica trougla ćemo videti kroz primer.

Pre njega, samo da Vas još podsetim da je simetrala ugla poluprava koja sadrži teme tog ugla i deli dati ugao na dva podudarna ugla. Kada nacrtate sve tri simetrale unutrašnjih uglova istog trougla, dešava se nešto interesantno. Šta?

Ako nacrtamo tri proizvoljne tačke, mala je verovatnoća da će pripadati istoj pravoj. Ali, ako se to desi, za njih kažemo da su kolinearne.

Slično, ako nacrtamo tri proizvoljne prave, mala je verovatnoća da će se seći u istoj tački.

Ako se tri prave ipak seku u jednoj tački, za njih kažemo da su konkurentne.

Primer 4: Dokažimo da su simetrale stranica datog trougla konkurentne.

Rešenje: Trebaće nam skica. Namerno ćemo nacrtati u skici da se simetrale stranica ne seku u istoj tački, da nas ne bi crtež zbunjivao kod dokaza.

Slika624Simetrale stranica smo ozmnačili sa m, n i l. Neka je tačka O presek m i n. A sada i dokaz:

Formula3056

Tačka O koju smo dobili u ovom primeru je jednako udaljena od svih temena trougla, pa predstavlja centar opisanog kruga oko tog trougla.

Primer 5: Tačka T na slici je težište trougla ABC.

Slika625

Nađimo dužinu AT.

Rešenje: Pošto je T težište, ona deli svaku od težišnih linija u odnosu 2 : 1, pri čemu je rastojanje od temena do težišta duži deo. To znači da je AT duplo duža od duži kojoj je data dužina 2 cm. Dakle, AT = 4 cm.

Primer 6: Ako su mere uglova kao na slici:

Slika626

nađimo vrednost x.

Rešenje: U prvom primeru smo dokazali da je zbir unutrašnjih uglova trougla 180º. Postavimo jednačinu i rešimo je:

Formula3057

Primer 7: Dokažimo da su težišne duži jednakokrakog trougla koje odgovaraju kracima međusobno podudarne.

Rešenje: Cilj nam je da nađemo podudarne trouglove čije će tražene težišne duži biti stranice.

Slika627Uzećemo, npr. trouglove DBC i ECB.

Formula3058

1 komentar »

  1. […] Trouglovi […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za treći razred | On-line učionica — 4. septembar 2016. @ 9:16 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: