On-line učionica

18. avgust 2016.

Teorema i dokaz

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:18 pm

U geometriji, aksioma je tvrđenje za koje se pretpostavlja da je tačno na osnovu osnovnih geometrijskih principa. Na primer aksioma je rečenica:

Kroz bilo koje dve razne tačke se može povući tačno jedna prava.

Nekada se smatralo da su aksiome tvrđenja koja su toliko očigledna da im ne treba dokaz. Danas znamo bolje. Teorema je matematičko tvrđenje koje se može i mora dokazati da bi se smatralo tačnim. Sigurno ste čuli za reč teorema i pre nego što ste učili njen primer – Pitagorinu teoremu. Većina sadržaja geometrije uključuje učenje raznih teorema i njihovo dokazivanje.

Šta znači dokazati nešto? I ranije ste dokazivali, ali pre toga češće su Vas pitali da „obrazložite svoj odgovor“ ili da „objasnite svoje razmišljanje“. Ove stvari su jako važne, jer objašnjavaju vaše rezonovanje i u idealnom slučaju svi mogu da Vas isprate i ubeđeni su da ste u pravu. Dokaz je samo formalan način obrazlaganja odgovora. U okviru dokaza cilj je da koristite date informacije i činjenice, o kojima se svi slažu da su tačne, da bi pokazali da novo tvrđenje mora takođe biti tačno.

Pretpostavimo da treba da dokažemo da visina jednakokrakog trougla, koja odgovara osnovici, polovi tu osnovicu. Prvo ćemo nacrtati skicu i obeležiti date elemente:

Slika612

Dakle, treba da dokažemo da je AD podudarno sa DC. To znači da treba da damo ubedljive matematičke argumente da znamo zašto dve tražene duži moraju biti podudarne.

Sada ću u jednom šarenom pasusu napisati zašto dve tražene duži moraju biti podudarne.

AB je podudarno sa BC, jer su to kraci jednakokrakog trougla. Takođe, uglovi ADB i CDB su pravi, jer su podnožje visine, a to znači da su međusobno podudarni. Posmatrajmo sada trouglove ABD i CBD. Oni imaju jednu zajedničku stranicu, pa je BD podudarna sa sobom, jer je podudarnost refleksivna relacija. Sada su i posmatrani trouglovi ABD i CBD međusobno podudarni, po stavu SSU (dve stranice i ugao naspram veće) podudarnosti trouglova. Dakle, stranice AD i CD moraju biti podudarne, jer su odgovarajuće stranice podudarnih trouglova.

Postoje dve ključne komponente bilo kog dokaza – iskazi i obrazloženja. Iskazi su koraci koji nas vode do krajnjeg dokaza. U prethodnom pasusu su obeleženi crvenom bojom. Obrazloženja su razlozi zbog kojih tvrdite da je određeni korak sigurno tačan. U prethodnom pasusu su obeležena plavom bojom. Dokaz nije kompletan bez svih iskaza (jer onda drugi ne mogu da prate dokaz), ni bez svih obrazloženja (jer onda niste ubedljivi).

Vreme je da priznam da je šareni pasus prilično zbunjujuć kada se gleda i čita. Zato se dokazi u matematici pišu u dve kolone – u levoj se jedan ispod drugog pišu iskazi, a u desnoj obrazloženja. U našem primeru dokaza, to bi izgledalo ovako:

Formula3043

Ako Vam i dalje nije jasno, mogu i da nacrtam:

Slika613

Primer 1: Naći grešku u sledećem dokazu istog tvrđenja:

Formula3044

Rešenje: U ovom dokazu nedostaje jedan iskaz, tj. jedan korak, da je BD podudarno sebi. Zašto to smeta? Pa u narednom koraku se tvrdi da su dva trougla podudarna, a navedena su samo dva elementa. Svi stavovi o podudarnosti trouglova zahtevaju tri elementa!

Primer 2: Naći grešku u sledećem dokazu istog tvrđenja:

Formula3045

Rešenje: Obrazloženje „vidi se sa slike“ nije obrazloženje! Šta ako loše nacrtamo? Ili ako slučajno nacrtamo specijalan slučaj koji ne važi uvek?

Zapamtite: poenta dokaza je da ubedite slušaoce da ste u pravu! Ako preskačete iskaze, ili neubedljivo obrazlažete, niste uspeli!

1 komentar »

  1. […] Teorema i dokaz […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za treći razred | On-line učionica — 4. septembar 2016. @ 9:16 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: