On-line učionica

15. maj 2016.

Dokazivanje trigonometrijskih identiteta

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:19 pm

Ova lekcija je direktni nastavak prethodne. Sada kada znate kako da uprostite neki trigonometrijski izraz, proširićemo tu ideju na dokazivanje jednakosti. Kako to radimo?

Izaberemo jednu (po našoj proceni komplikovaniju) stranu identiteta i pokušamo da dobijemo onu drugu, jednostavniju stranu.

U tom procesu je zgodno prvo sve pretvoriti u sinus i kosinus, sem ako nije očigledno da je to suvišan korak (npr. sve je u funkciji tangensa i kotangensa).

Dalje, koristimo poznate identitete, to jest formule.

I poslednje, ali ne najmanje važno – kada se „zaglavimo“ i ne znamo šta dalje, „zavirimo“ šta treba da dobijemo, pa nastavimo u tom smeru.

Primer 1: Dokažimo jednakost:

Formula3003

Rešenje: Prvo moramo odlučiti koja strana je komplikovanija. Iako to možda ne deluje tako, počećemo od desne strane, jer ima dva izraza koji se oduzimaju, dok je leva samo jedan razlomak. Dalje, sve pretvaramo u sinus i kosinus i oduzimamo dobijene razlomke. Potom primenjujemo Pitagorin identitet:

Formula3004

Sada dolazi onaj momenat kada smo zaglavljeni, jer smo sve uprostili, a nismo dobili drugu sttranu. Ako zavirimo, zaključićemo da nam treba kotangens, a da mi imamo kosinus. Znači treba i brojilac  i imenilac podeliti sa sinusom na kvadrat. Nastavljamo:

Formula3005

Ovde smo koristili sledeće identitete:

Formula3006

Nije bilo teško, zar ne? Da probamo još jedan.

Primer 2: Dokažimo jednakost:

Formula3007

Rešenje: Ovde polazimo od leve strane, jer je u imeniocu razlika. Primenićemo jedan „trik“ koji se naziva racionalizacija – pomnožićemo i brojilac i imenilac sa 1 + cos x, upotrebiti Pitagorin identitet, skratiti i …

Formula3008

dobili smo što je trebalo, znači da je naš posao gotov. Ovde smo koristili identitet:

Formula3009

Primer 3: Dokažimo identitet:

Formula3010

Rešenje: Polazimo od leve strane, menjamo sekans u kosinus:

Formula3011

Ovde primenjujemo parnost kosinusne funkcije i vraćamo sve u sekans:

Formula3012

Ovde smo koristili da je kosinus parna funkcija, tj. da „pojede“ minus i definiciju sekansa. Podsećam i da su sinus i tangens neparne funkcije, tj. kroz njih minus „prođe“:

Formula3013

1 komentar »

  1. […] Dokazivanje trigonometrijskih identiteta […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 15. maj 2016. @ 8:20 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: