On-line učionica

4. april 2016.

Približno rešavanje jednačina – Njutnova metoda

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:47 am

Počećemo od jednostavnog primera.

Primer 1: Pretpostavimo da želimo da izračunamo √5 bez korišćenja digitrona. Imate li neku ideju? Pokušajte da razmišljate o ovom problemu tako da koristite linearnu aproksimaciju.

Pretpostavimo da želimo da rešimo kvadratnu jednačinu

Formula2899

Znamo da su njeni koreni ±√5.

Ideja je da pronađemo takvu linearnu aproksimaciju u odgovarajućoj tački za koju ćemo lako, rešavanjem linearne jednačine naći nulu funkcije. I eto odlične primene!

Kako izabrati tačku linearne aproksimacije? Pošto je 2 = √4 < √5 < √9 = 3, izabraćemo tačku 2 za početnu (mada je i sa 3 isto tako moguće raditi).

Formula2900

Aproksimiramo

Formula2901

Primetite koliko je lakše rešiti gornju jednačinu od početne! Izjednačavajući sa nulom, dobijamo x = 2,25.

Ovo je prilično dobra procena, obzirom da bi nam digitron rekao 2,23607, što je za 0,014 manje. U stvari, možemo dobiti još bolju procenu koristći prethodni rezultat kao tačku aproksimacije, jer je taj broj još bliži tačnoj vrednosti.

Formula2902

Ponovo, linearna aproksimacija daje

Formula2903

Reavajući dobijamo x = 2,23611 što je još bolja procena.

Možemo nastaviti proces, što je prikazano u tabeli

n Formula2909 Formula2910 Formula2911 Formula2912 Formula2913
1 2 -1 4 -0,25 2,25
2 2,25 0,0625 4,5 0,01389 2,23611
3 2,23611 0,00019 4,47222 0,00004 2,23607
4 2,23607

Ovo je osnovna ideja Njutnove, odnosno metode tangente. U stvari na neki sličan način i sam digitron računa rezultate raznih funkcija. Evo sada objašnjenja metode.

Slika590

Njutnova metoda

  1. Odrediti funkcije f(x) i f‘(x).
  2. Proceniti početnu tačku. Za to se može koristiti i grafik funkcije.
  3. Koristeći trenutnu aproksimaciju, naći sledeću, koristeći rekurentnu formulu
  4. Ponavljati korak 3, dok ne dobijete željenu tačnost.

Formula2904

Napomena: U nekim slučajevima, Njutnova metoda neće konvergirati.

Primer 2: Naći nulu polinoma

Formula2905

na intervalu [2, 3] prvo rešavajući kvadratnu jednačinu, a zatim Njutnovim metodom.

Rešenje: Funkcija je prikazana na slici

Slika589Rešavajući kvadatnu jednačinu dobijamo

Formula2906

Njutnovim metodom sa početnom tačkom 3 imamo

n Formula2909 Formula2910 Formula2911 Formula2912 Formula2913
1 3 14 37 0,3784 2,6216
2 2,6216 0,7151 33,216 0,0215 2,6001
3 2,6001 0,0033 33,001 0,0001 2,6
4 2,6

Tačan rezultat se dobija prilično brzo.

Primer 3: Njutnovim metodom naći nule polinoma

Formula2907

Rešenje: Potrebne jednačine

Formula2908

Da bismo našli rešenje, potreban nam je i grafik

Slika591Kao što grafik sugeriše, možemo početi od vrednosti 0,6.

n Formula2909 Formula2910 Formula2911 Formula2912 Formula2913
1 0,6 -0,184 2,08 -0,0884615 0,6884615
2 0,6884615 0,01477796 2,4219377 0,0061017 0,6823598
3 0,6823598 0,00007669 2,3968445 0,000032 0,6823278
4 0,6823278

Zaključujemo da je nula polinoma približno 0,6823.

1 komentar »

  1. […] Njutnov metod […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 4. april 2016. @ 10:48 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: