On-line učionica

31. mart 2016.

Linearne aproksimacije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:47 pm

Linearna aproksimacija funkcije podrazumeva korišćenje tangente funkcije u tački kao približne vrednosti funkcije u nekoj okolini te tačke. Dakle, ovu vezu između tangente i grafika funkcije u okolini tačke tangiranja nazivamo linearna aproksimacija.

Ako je data funkcija f i njen izvod f‘, jednačina tangente u tački x se može napisati kao:

Formula2887

Ako pretpostavimo da je tangenta dobra aproksimacija za f u okolini tačke x, možemo pisati

Formula2888

Ovo je linearna aproksimacija funkcije f u okolini tačke x.

Linearna aproksimacija se onekad označava i sa L tako da važi

Formula2889

Primer 1: Nađimo linearnu aproksimaciju funkcije

Formula2890

u okolinama tačaka x = 1,5 i x = -0,5.

Rešenje: Imamo

Formula2891

Linearne aproksimacije dakle glase:

Formula2892

Pogledajmo i grafički prikaz:

Slika586Kao što se vidi na slici, kako se udaljavamo od tačke aproksimacije, tako gubimo tačnost:

Greška u okolini x = -0,5 Greška u okolini x = 1,5
 x  f(x) L(x) Δy  x  f(x) L(x) Δy 
 -1  0 -0,25  0,25  1  -4  -4,25  0,25
 -0,5  -1,75  -1,75  0  1,5  -3,75  -3,75  0
 0  -3,25  -3,25  0,25  2 -3,25  -3 0,25

Primer 2: Nađimo linearnu aproksimaciju funkcije

Formula2893

u okolini tačke x = 1.

Rešenje: Imamo

Formula2894

pa linearna aproksimacija postaje

Formula2895

Ponovo, grafički, vidimo da kako se udaljvamo od tačke linearizacije, greška se povećava

Slika587

Tabelom

x f(x) L(x) Δy
1 2 2 0
1,5 2,121 2,125 0,004
2 2,236 2,25 0,014
3 2,449 2,5 0,051

Primer 3: Nađimo linearnu aproksimaciju funkcije y = sin x u okolini tačke

Formula2896

Rešenje: Ponovo, mi imamo

Formula2897

Pa linearna aproksimacija postaje

Formula2898

I slika

Slika588

2 komentara »

  1. […] Linearne aproksimacije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 31. mart 2016. @ 12:49 pm | Odgovor

  2. […] Primer 1: Pretpostavimo da želimo da izračunamo √5 bez korišćenja digitrona. Imate li neku ideju? Pokušajte da razmišljate o ovom problemu tako da koristite linearnu aproksimaciju. […]

    Povratni ping od Približno rešavanje jednačina – Njutnova metoda | On-line učionica — 4. april 2016. @ 10:47 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: