On-line učionica

28. mart 2016.

Optimizacija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:56 pm

Sada već umete da ispitate funkciju i da nađete njene maksimume i minimume koristeći prvi i drugi izvod. To ima veliku primenu! Nalaženje rešenja nekih realnih problema (u ekonomiji, nauci, mašinstvu i elektrotehnici) često uključuje postupak pronalaženja maksimuma ili minimuma funkcije na nekom prihvatljivom intervalu vrednosti. Ova vrsta problema se naziva problem optimizacije, a rešenje, koje predstavlja upravo tu ekstremnu vrednost funkcije na intervalu se naziva optimalno rešenje.

U prethodnim lekcijama smo diskutovali metode za nalaženje ekstremuma funkcije i te metode ćemo sada koristiti za rešavanje problema optimizacije. Pretpostavimo da je f neprekidna na zatvorenom intervalu I.

Setite se da smo pronalazili apsolutni minimum i maksimum funkcije na sledeći način:

  1. Nalazili smo vrednosti funkcije f u kritičnim tačkama funkcije u datom intervalu;
  2. Nalazili smo vrednosti funkcije f na krajevima datog intervala;
  3. Najveća od dobijenih vrednosti je bila maksimum, a namanja minimum.

Međutim, realni problemi često nameću ograničenja koja moramo ispuniti pre nego to krenemo da računamo optimalno rešenje.

Primer 1: Jedna kompanija proizvodi visoko-kvalitetne gume za bicikle, i za rekreativce, i za profesionalne trkače. Broj guma koje kompanija prodaje je funkcija cene i može se predstaviti jednačinom

Formula2799

gde je x cena svake gume u hiljadama dinara, a G broj hiljada prodatih komada. Po kojoj ceni se prodaje najviše guma? Koliko guma će biti prodato po toj ceni?

Rešenje: U ovom optimizacionom problemu pokušavamo da nađemo maksimalnu vrednost funkcije G. G(x) se naziva primarna funkcija, ili funkcija cilja, koja će biti optimizovana. U ovim problemima ćemo koristiti tehniku da pogledamo grafik funkcije pre nego što počnemo da računamo. Ukoliko nam takav uređaj nije dostupan, uvek možemo detaljno ispitati funkciju i skicirati njen grafik pre početka optimizacije. Pogledajmo sada pažljivo grafik

Slika559Prvo primetimo da, s obzirom da je ovo realan problem, obe veličine, i x i G(x) moraju biti pozitivne, inače problem ne bi imao smisla. Ovi uslovi, zajedno sa činjenicom da je nula funkcije G negde oko 38, sugerišu da je domen funkcije

Formula2800

Ova restrikcija domena, koju nazivamo prostor pretrage, ili oblast dopustivih rešenja, ilustruje čestu situaciju kod problema optimizacije: realni uslovi situacije koju proučavamo diktiraju moguća rešenja.

Sa grafika vidimo da je rešenje našeg problema maksimum funkcije G. Njen izvod je

Formula2801

i dostiže nulu u

Formula2802

Prvo rešenje ne pripada prostoru pretrage, pa je rešenje x = 2,5, a

Formula2849

Dakle, cena koja će dovesti do maksimalne prodaje guma je 2.500 dinara, pri čemu će biti prodato 8.687 guma.

U mnogim problemima optimizacije, moraju se koristiti dodatne jednačine da bi se smanjio broj promenlivih u primarnoj funkciji pre početka rešavanja problema optimizacije.

Primer 2: Pretpostavimo da Mara želi da napravi spoljašnji pravougaoni boks za njenog ljubimca. Želela bi da jedna stranica tog boksa bude zid njene kuće. Ako ima 9 m žičane ograde koju bi mogla da upotrebi, kolike treba da budu dimenzije boksa tako da njegova površina bude maksimalna?

Rešenje: Prvo skica

Slika578

Primarna funkcija je funkcija površine boksa:

Formula2850

Drugu jednačinu dobijamo iz uslova koji ograničava dužinu ograde koju Mara poseduje. Tačnije

Formula2851

Rešavajući ovo po y dobijamo

Formula2852

što možemo zameniti u primarnu funkciju i imamo

Formula2853

Uvek je zgodno imati grafik primarne funkcije

Slika576Ova je kvadratna, pa je ostatak problema jednostavan. Prostor mogućih rešenja je

Formula2854

a maksimum funkcije se dostiže za x = 2,25 m, odnosno y = 4,5 m.

Odnosno, Mara treba da ogradi pravougaonik dimenzija 2,25 × 4,5 metara, tako da duža stranica bude uz zid kuće, da bi njen ljubimac imao maksimalnu površinu.

Problemi optimizacije u kojima se pojavljuju geometrijski objekti su vrlo korisni za objašnjenje postupka rešavanja. Evo još jednog.

Primer 3: Određena firma za proizvodnju sokova želi da počne da prodaje sok u aluminijumskoj konzervi sa 473 ml soka. Naći dimenzije konzerve, tako da količina utrošenog aluminijuma bude minimalna.

Rešenje: Količina aluminijuma je u stvari površina konzerve. Pretpostavićemo da je oblik konzerve valjak. Dakle primarna funkcija glasi

Formula2855

Uslovi prostora mogućih rešenja podrazumevaju da je

Formula2856

Da bi smanjili broj promenljivih, treba nam sekundarna jednačina koja povezuje r i H. To je uslov količine soka, odnosno zapremine konzerve. Sekundarna jednačina je, dakle

Formula2857

Kada izrazimo H i zamenimo, dobijamo:

Formula2858

Grafik ove funkcije je

Slika577Uzimajući u obzir prostor mogućih rešenja, jasno nam je da nam je potreban minimum sa desne strane grafika. Izvod ove funkcije je

Formula2859

i dostiže nulu za

Formula2860

U tom slučaju je

Formula2861

Najmanje aluminijuma će se potrošiti za konzervu poluprečnika približno 4,2 cm i visine približno 8,5 cm.

1 komentar »

  1. […] Optimizacija […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 28. mart 2016. @ 10:58 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: