On-line učionica

17. mart 2016.

Period sinusne i kosinusne funkcije

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:48 am

Poslednja stvar na koju možemo uticati kod sinusne i kosinusne krive je njen period.

Normalan period sinusne ili kosinusne funkcije je 2π. Ako „razvučemo krivu po x-osi“, period bi bio duži. Na slikama ispod su prikazane dve sinusoide sa različitim periodima.

Slika579

Slika580

Da bi utvrdili period na osnovu jednačine, uvodimo nedostajuće slovo B u opšti oblik jednačina. Dakle, jednačine sada glase

Formula2862

gde je A amplituda, B frekvencija, C fazni pomeraj i D vertikalno pomeranje. Frekvencija je broj ponavljanja sinusne ili kosinusne funkcije unutar 2π. Dakle, frekvencija i period su obrnuto proporcionalni. Na prvoj od gornje dve slike, postoji pola sinusoide unutar 2π. Zato je njena jednačina

Formula2863

Sinusoida sa druge gornje slike ima dva ponavljanja unutar 2π, što čini jednačinu

Formula2864

Da bismo našli period proizvoljne sinusne ili kosinusne funkcije, koristimo formulu

Formula2865

gde je T period, a B frekvencija. Koristeći prvi gornji grafik, proveravamo formulu

Formula2866

i dobijamo tačno rešenje.

Primer 1: Odredimo period kosinusne funkcije

Formula2867

skicirajmo njen grafik i nađimo ekstremne vrednosti, domen, kodomen i nule funkcije.

Rešenje: Frekvencija je 6, što daje da je period

Formula2868

Osim toga, imamo refleksiju u odnosu na x-osu i amplitudu 3. Dakle, grafik nastaje „skupljanjem“ kosinusa do perioda, refleksijom u odnosu na x-osu i „razvlačenjem“ po y-osi od -3 do 3.

Slika581

Prva maksimalna vrednost sa vrednošću 3 se pojavljuje na polovini perioda, tj. u pi šestina i ponavlja na svaki period, tj. pi trećina. Dakle, za

Formula2869

Minimalna vrednost iznosi -3 i pojavljuje se prvi put u nuli, a posle na svakih pi trećina, dakle za

Formula2870

Domen su svi realni brojevi, a kodomen zatvoren interval od -3 do 3.

Do sada se nule funkcije nisu pomerale. Sada ih u intervalu od 0 do 2π imamo čak 12, pošto se u svakom periodu ponavljaju po dva puta. Prva nula se pojavljuje na četvrtini perioda, tj. na pi dvanaestina, a svaka sledeća na po pola perioda, tj. na svakih pi šestina. Dakle, funkcija dostiže nule za

Formula2871

Primer 2: Odredimo period sinusoide

Formula2872

Rešenje: Frekvencija je 1/4, pa je period

Formula2873

Primer 3: Odredimo period funkcije

Formula2874

Rešenje: Frekvencija je pi, pa je period

Formula2875

1 komentar »

  1. […] Period sinusne i kosinusne funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 17. mart 2016. @ 11:49 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: