On-line učionica

9. mart 2016.

Grafik sinusa i kosinusa

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:04 pm

Ovde ćemo uzeti trigonometrijski krug o kome smo učili ranije i ucrtaćemo ga u koordinatni sistem.

Da bi to uradili, „razmotaćemo“ krug. Setite se da su koordinate tačaka na trigonometrijskom krugu date sa (cos φ, sin φ), gde je φ centralni ugao. Da bi nacrtali funkciju y = sin x koordinate ćemo pretvoriti u (x, sin x), gde je x centralni ugao, dat u radijanima. Pogledajte sada pažljivo animaciju ispod i pokušajte da ispratite šta se dešava sa tačkom koja odgovara centralnom uglu od 3π/4.

GrafikSin

Primetite kako se kriva kreće od -1 do 1. Maksimalna vrednost je 1 i dostiže se za x = π/2. Minimalna vrednost je -1 za x = 3π/2. Ova „visina“ sinusne funkcije se naziva amplituda. Amplituda je polovina vertikalnog rastojanja između najveće i najmanje vrednosti funkcije.

Razmislimo sada o domenu. Čini se, da smo nastavili krivu, da bi se vrednosti ponavljale. To znači da je sinusna funkcija periodična. Pogledajmo ponovo animaciju, vrednost sinusa se menja sve dok ugao ne dostigne 2π. Posle toga, sve vrednosti se ponavljaju. Zato se grafik sinusne funkcije ponavlja svakih 2π, što znači da je 2π period sinusne funkcije. Domen su svi realni brojevi.

Slika528

Slično, kada crtamo kosinusnu funkciju, y = cos x, na osnovu trigonometrijskog kruga, imamo

GrafikCos

Primetite kako je kodomen ponovo između -1 i 1, a domen svi realni brojevi. Kosinusna funkcija je takođe periodična, sa periodom 2π. Kada bi crtali ceo grafik, izgledao bi ovako

Slika563

Ako uporedimo y = sin x i y = cos x (na slici ispod) videćemo da su ove funkcije skoro identične, sem što sinusna funkcija počinje u y = 0, a kosinusna u y = 1.

Slika564

Ako pomerimo jednu od njih levo, odnosno desno za π/2, one će se preklopiti. Ovakva horizontalna pomeranja trigonometrijskih funkcija se nazivaju fazna pomeranja. Diskutovaćemo ih više u narednim lekcijama.

Primer 1: Identifikujmo koordinate označenih tačaka na grafiku sinusne funkcije:

Slika561Rešenje: Svaka tačka ima za y-koordinatu odgovarajuću vrednost sinusa vrednosti x-koordinate. Za tačku A važi

Formula2825

Za tačku B ćemo morati unazad, jer nam nije označena njena x-koordinata, već y. Kada je

Formula2826

Ako ponovo pogledamo gde se tačka B nalazi, zaključujemo da je druga opcija tačna. Zato je

Formula2827

Primer 2: Identifikujmo koordinate označenih tačaka na grafiku kosinusne funkcije:

Slika562Rešenje: Svaka tačka ima za y-koordinatu odgovarajuću vrednost kosinusa vrednosti x-koordinate. Za tačku A važi isto kao za tačku A iz prethodnog primera, jer su i sinus i kosinus π/4 isti

Formula2828

Što se tačke B tiče, uradićemo isto što i za tačku B iz prethodnog primera. Kada je

Formula2829

Ponovo, gledajući gde se tačka B nalazi, zaključujemo da je druga opcija tačna. Zato je

Formula2830

Osim što možemo nacrtati grafik sinusne i kosinusne funkcije, možemo ih i „razvući“ dodajući broj isred sinusa ili kosinusa: y = Asin x, ili y = Acos x. Broj A predstavlja amplitudu krive. U narednim lekcijama ćemo ih i pomerati levo-desno i gore-dole i menjati im period.

Primer 3: Skicirajmo grafik funkcije y = 3sin x.

Rešenje: Počećemo od osnovne funkcije. Broj 3 nam govori da će kodomen sada biti od -3 do 3 i da će kriva biti razvučena tako da dostiže maksimum 3 i minimum -3. Na grafiku je prikazana crvenom bojom

Slika565

Primer 4: Skicirajmo grafik funkcije

Formula2831

Rešenje: Sada će amplituda biti 1/2 i grafik će biti „spljeskan“, a ne razvučen.

Slika566

3 komentara »

  1. […] Grafik sinusa i kosinusa […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 9. mart 2016. @ 7:06 pm | Odgovor

  2. Vau! Aj sad da nekom ne bude jasno!

    Komentar od MileticJ — 9. mart 2016. @ 7:08 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: