On-line učionica

7. februar 2016.

Kosinusna teorema za nalaženje nepoznate stranice

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:18 pm

Kosinusnu teoremu možemo koristiti za nalaženje treće stranice u trouglu ako su nam date dve stranice i njima zahvaćen ugao. Razmotrimo proizvoljan (ne mora biti pravougli) trougao na slici ispod u kome su nam poznate stranice a i b i ugao γ. Možemo docrtati visinu iz temena B da bi dobili dva pravougla trougla kao što je nacrtano i gde su x i bx odsečci na koje visina iz temena B deli stranicu b.

Slika553

Sada možemo upotrebiti Pitagorinu teoremu da bi našli zavisnost dužina stranica dva trougla.

Prvi trougao:

Formula2718

Drugi trougao:

Formula2719

Pošto se u obe jednakosti pojavljuje kvadrat visine, možemo ih izjednačiti i srediti izraz:

Formula2720

Setite se da su nam date stranice a i b i ugao kod temena C. Dužina odsečka x nam nije poznata. Možemo izraziti njegovu dužinu preko poznatih veličina pomoću definicije kosinusa:

Formula2721

Na kraju, zamenimo dužinu x i dobijamo Kosinusnu teoremu:

Formula2722

Zapamtite da su a i b kraci ugla γ u formuli.

Primer 1: Nađimo dužinu stranice c, ako je γ = 80°, a = 6 i b = 12.

Rešenje: Zamenjujući date vrednosti u formulu dobijamo:

Formula2723

Primer 2: Nađimo dužinu stranice a, ako je α = 43°, b = 16 i c = 22.

Rešenje: Ovoga puta su nam date stranice koje zaklapaju ugao α i njegova mera. Kosinusnu teoremu možemo zapisati i kao

Formula2724

Samo je važno da na jednoj strani figurišu dve stranice i njima zahvaćen ugao, a na drugoj stranica naspram ugla čiji kosinus koristimo. Sada možemo zameniti date vrednosti i izračunati a:

Formula2725

Primer 3: Rada pravi trougaonu baštu za cveće. Jedna strana je ograničena njenim tremom, druga ogradom, a treću planira da ogradi kamenim zidićem. Ako je trem dug 10 m, a ograda 15 m, pri čemu se spajaju pod uglom od 100°, kolika dužina kamenog zida joj je potrebna?

Rešenje: Poznate su nam dve stranice i njima zahvaćen ugao. Upotrebićemo kosinusnu teoremu za nalaženje treće stranice:

Formula2726

Radi će trebati 19,4 m kamenog zidića.

1 komentar »

  1. […] Kosinusna teorema za nalaženje nepoznate stranice […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 7. februar 2016. @ 12:20 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: