On-line učionica

17. januar 2016.

Sinusna teorema kada su date dve stranice

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 6:41 pm

… i ugao naspram jedne od nih.

Verovatno ste primetili da su sinus ugla i njemu suplementnog ugla uvek jednaki. Odnosno

Formula2675

U osnovnoj školi ste učili podudarnost trouglova i sećate se da se podudarnost dva trougla nije mogla dokazati preko dve stranice i ugla naspram jedne od njih. Tada ste insistirali da taj dati ugao bude naspram veće od dve date stranice. U prvom primeru ćemo istražiti jedan slučaj kada je dat ugao naspram kraće stranice.

Primer 1: Dat je trougao ABC kod koga je α = 30º, a = 5 i b = 8. Rešimo taj trougao.

Rešenje: Prvo ćemo skicirati dati trougao

Slika548

a onda ćemo upotrebiti sinusnu teoremu da bismo dobili ugao β

Formula2676

Odavde nalazimo da je γ ≈ 97º, jer je zbir uglova u trouglu 180º. Sada možemo ponovo sinusnom teoremom naći i dužinu treće stranice

Formula2677

Međutim, pošto znamo da je

Formula2675

poostoji još jedno rešenje za β ≈ 180º – 53º ≈ 127º. U tom slučaju je γ ≈ 23º. Sada je treća stranica

Formula2678

U ovom slučaju smo imali dva rešenja – jedno kada je ugao naspram druge stranice oštar, a drugo kada je taj ugao tup.

Primer 2: Dat je trougao ABC u kome je β = 80º, a = 5 i b = 7. Rešmo ga.

Rešenje: Opet prvo skica

Slika549

pa sinusna teorema za ugao naspram druge date stranice

Formula2679

Nalazimo treći ugao 180º – 80º – 45º = 55º i treću stranicu

Formula2680

Drugo rešenje za ugao α ≈ 135º i tražimo drugo rešenje. U pokušaju računanja trećeg ugla, otkrili bismo da je zbir uglova veći od 180º, što znači da takav trougao ne postoji.

U ovom primeru imamo jedinstveno rešenje i to će uvek biti tako kada je dat ugao naspram veće stranice.

U prethodnim primerima smo jednostavno probali da dobijemo drugo rešenje. Naravno, postoje i pravila koja nam omogućavaju predviđanje broja rešenja. Prethodni, „probaj pa vidi“ metod je pouzdan, pa ne morate da pamtite ova pravila. Ali, interesantno je videti šta različiti slučajevi grafički znače.

Neka je dat ugao kod temena A i stranice a i b u trouglu ABC.

Ako je a > b, onda je ugao kod temena A naspram veće i imamo jedinstveno rešenje.

Ako je a < b, onda postoje tri (odnosno četiri) slučaja koje je lepše nacrtati, nego objašnjavati rečima:

Slika550

Onaj četvrti slučaj iz zagrade gore se odnosi na slučaj kada je dati ugao tup, pa onda kraća stranica a svakako ne može formirati trougao i u tom slučaju nema rešenja:

Slika551

Primer 3: Dat je trougao ABC u kome je α = 42º, b = 10 i a = 8. Ne rešavajući trougao, odrediti koliko rešenja ima zadatak.

Rešenje: U ovom slučaju je dat oštar ugao naspram kraće stranice, što znači da broj rešenja zavisi od toga da li je kraća stranica duža ili kraća od odgovarajuće visine. Ta visina iznosi, na osnovu definicije sinusa,

Formula2681

Dobili smo da je kraća stranica duža od visine, pa zadatak ima dva rešenja.

1 komentar »

  1. […] Sinusna teorema kada su date dve stranice […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 17. januar 2016. @ 6:46 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: