On-line učionica

9. januar 2016.

Sinusna teorema kada su data dva ugla

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:49 am

… i jedna stranica.

Razmotrimo proizvoljan (ne mora biti pravougli) trougao na slici ispod. Možemo konstruisati visinu iz bilo kog temena i time ga podeliti na dva pravougla trougla kao to se vidi na slici ispod.

Slika544

Na osnovu podataka sa slike možemo izraziti visinu h na dva načina:

Formula2649

Pošto su oba izraza jednaka h, možemo ih i međusobno izjednačiti, čime dobijamo:

Formula2650

Na kraju delimo obe strane sa bc da bi napravili proporciju:

Formula2651

Da smo konstruisali visinu iz nekog drugog temena, npr. B, dobili bismo proporciju

Formula2652

Kada obe proporcije stavimo u istu jednakost, dobijamo sinusnu teoremu:

Formula2653

Rečima: U proizvoljnom trouglu je odnos sinusa ugla i njemu naspramne stranice konstantan. U primerima koji slede ćemo koristiti sinusnu teoremu da bismo rešili trouglove.

Primer 1: Rešimo trougao:

Slika545

Rešenje: Prvo ćemo izračunati treći ugao, pošto je zbir uglova u trouglu 180º: α = 180º – 45º – 70º = 65º.

Sada ćemo zameniti sve poznate vrednosti u formulu sinusne teoreme:

Formula2654

Ako budemo uzimali proporciju po poroporciju iz jednačine, dobićemo vrednosti za a i c unakrsnim množenjem.

Da bi našli a, uzimamo jednakost prve dve razmere:

Formula2655

Da bi našli c, uzimamo jednakost druge i treće razmere:

Formula2656

Ovo je primer u kome su data dva ugla i stranica naspram jednog od njih.

Primer 2: Rešimo trougao:

Slika546

Rešenje: U ovom primeru su data dva ugla i stranica na kojoj leže. Praktično, nije bitno koja stranica je data. Pratimo istu proceduru. Treći ugao je α = 180º – 50º – 80º = 50º.

Ne moramo pisati celu proporciju, samo deo koji nam treba.

Da bi našli a, uzimamo razmeru u kojoj figuriše a i razmeru u kojoj nam je sve poznato:

Formula2657

Isto za b:

Formula2658

Primetite da je ovo bio jednakokraki trougao. Ovo je takođe dobra ilustracija osobine jednakokrakih trouglova da se naspram podudarnih stranica nalaze podudarni uglovi.

Primer 3: Ribarska flota se sastoji od tri broda. Brod Cica je 32 km udaljen od broda Anđela. Oficir sa broda Cica meri ugao između Anđele i Bojane i dobija 25º. Oficir sa broda Bojana meri ugao između Anđele i Cice i dobija 100º. Koliko su udaljeni Cica i Bojana (zaokružiti na ceo kilometar)?

Rešenje: Prvo ćemo skicirati problem. Da bi to uradil, treba da znamo da kada se sa nekog broda meri ugao između dva objekta, dobija se ugao čije teme je taj brod.

Slika547

Sada kada imamo sliku, jasno nam je da treba da izračunamo ugao kod Anđele i primenimo sinusnu teoremu da bi dobili traženo rastojanje.

Ugao kod Anđele je α = 180º – 25º – 100º = 55º.

Sada nađimo traženo rastojanje:

Formula2659

Brodovi Bojana i Cica su udaljeni približno 27 km.

1 komentar »

  1. […] Sinusna teorema kada su data dva ugla […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 9. januar 2016. @ 11:54 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: