On-line učionica

6. januar 2016.

Inverzne trigonometrijske funkcije

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:03 pm

Ranije smo naučili kako naći meru ugla u pravouglom trouglu korićenjem inverznih trigonometrijskih funkcija na digitronu (kalkulatoru). Sada ćemo uopštiti priču na proizvoljan ugao na trigonometrijskom krugu. Tražićemo sve moguće uglove koji imaju određenu vrednost trigonometrijske funkcije. Kažemo sve moguće, jer njih ima beskonačno mnogo. Zamislite trigonometrijski krug. Za koje uglove je

Formula2624

Na osnovu specijalnih trouglova znamo da referentni ugao mora biti 30º ili pi šestina. Ali pošto je sinus pozitivan i u prvom i u drugom kvadrantu, ugao takođe može biti 150º ili pet pi šestina. U stvari, svakom od ova dva ugla možemo dodati ili oduzeti 360º ili dva pi proizvoljan broj puta i sinus će i dalje biti 1/2.

Kada koristimo digitron da izračunamo inverznu trigonometrijsku funkciju, uvek dobijamo jedno rešenje – jer je to funkcija! Kodomeni inverznih trigonometrijskih funkcija su dati u sledećoj tabeli (u obzir je uzet i znak nezavisno promenljive):

Funkcija Interval vrednosti kada je x > 0 Interval vrednosti kada je x < 0
arcsin x  I kvadrant

Formula2634

IV kvadrant

Formula2635

arccos x I kvadrant

Formula2634

II kvadrant

Formula2636

arctg x I kvadrant

Formula2634

IV kvadrant

Formula2635

Primer 1: Izračunajmo približno arccos (0,5437).

Rešenje: Koristićemo digitron i dobiti približno 57º. I to je jedinstven rezultat.

Primer 2: Izračunajmo približno arctg (-3,1243).

Rešenje: -72º

Primer 3: Izračunajmo približno arccosec (3,0156).

Rešenje: Ovog puta imamo mali problem, jer arkuscosekans ne postoji na digitronu. Treba da se setimo da je

Formula2628

što znači da imamo

Formula2629

Primer 4: Nađimo nepoznati ugao za koji je sec α = 2,1647.

Rešenje: Ako radimo kao malopre, imaćemo

Formula2631

Međutim, ovde nam se traži nepoznati ugao, što znači da imamo još jedno rešenje u četvrtom kvadrantu i za svako od njih beskonačno mnogo, koji se dobijaju kada se doda (ili oduzme) proizvoljan (k) broj punih krugova:

Formula2632

Primer 5: Nađimo sve uglove koji zadovoljavaju jednačinu sin α = -0,3487.

Rešenje: Sa digitrona imamo α = arcsin(-0,3487) ≈ -20º. Još jedno rešenje je u trećem kvadrantu i svakom dodajemo po k celih krugova:

Formula2625

Primer 6: Nađimo sve uglove za koje je ctg α = -1,5632.

Rešenje:

Formula2626

Ovde se rešenja ponavljaju na svakih pola kruga:

Formula2627

Primer 7: Pročitajmo sa trigonometrijskog kruga, u radijanima, rešenje jednačine:

Formula2630

Rešenje: Prvo skiciramo, a onda napišemo rešenje:

Slika540

Primer 8: Pročitajmo sa trigonometrijskog kruga, u radijanima, rešenje jednačine:

Formula2633

Rešenje: Prvo skiciramo, a onda napišemo rešenje:

Slika541

Primer 9: Pročitajmo sa trigonometrijskog kruga, u radijanima, rešenje jednačine: cosec α = -2.

Rešenje: Prvo, ako je kosekans -2, onda je sinus -1/2. Sada skiciramo, a onda napišemo rešenje:

Slika542

1 komentar »

  1. […] Inverzne trigonometrijske funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 6. januar 2016. @ 10:05 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: