On-line učionica

4. januar 2016.

Sinus, kosinus i tangens

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 4:27 pm

Trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus i tangens izražavaju poznate odnose između dužina stranica u pravougom trouglu i to na osnovu tačne mere ugla.

Slika533

U ovom pravouglom trouglu stranica c je hipotenuza.

Ako govorimo o uglu β, onda katete nazivamo u odnosu na ugao β: stranica a je nalegla kateta, a stranica b naspramna kateta.

Ako razmatramo ugao α, onda katete nazivamo u odnosu na ugao α: stranica a je naspramna kateta, a stranica b nalegla kateta.

Sada možemo definisati trigonometrijske funkcije na sledeći način:

Formula2597

Ove definicije je jako važno naučiti napamet!

Sada možemo upotrebiti definicije za računanje trigonometrijskih funkcija oštrih uglova u trouglu iznad:

Formula2598

Važno je zapamtiti da kada nam je data konkretna mera oštrog ugla u pravouglom trouglu, vrednost ovih funkcija je konstantna, bez obzira na veličinu trougla. Na primer, ako je u pitanju ugao od 25°, onda je

Formula2599

i odnos naspramne katete i hipotenuze je uvek približno 0,4226, bez obzira na to koliko je trougao mali ili veliki.

Primer 1: Nađimo vrednosti trigonometrijskih funkcija oštrih uglova u trouglu PQR:

Slika534

Rešenje: Gledano iz ugla ρ, naspramna kateta je 8, nalegla 15, a hipotenuza 17. Zato su trigonometrijske funkcije:

Formula2600

Gledano iz ugla π, naspramna kateta je 15, nalegla 8, a hipotenuza 17. Trigonometrijske funkcije su zato:

Formula2601

Da li primećujete sličnosti u trigonometrijskim funkcijama uglova u istom pravouglom trouglu? Naspramna i nalegla kateta menjaju mesta, a hiotenuza je ista. Odatle imamo odnose:

Formula2602

Primer 2: Nađimo nepoznate dužine stranica u trouglu:

Slika535

Rešenje: Prvo ćemo videti šta nam je dato u odnosu na dati ugao. Dakle, poznata nam je nalegla kateta.

Da bi našli naspramnu katetu, treba nam trigonometrijska funkcija u kojoj se pojavljuju ona i data veličina – nalegla kateta. To je tangens:

Formula2603

Dužinu katete smo dobili na digitronu (kalkulatoru), unoseći 6 x tan(35) =.

Napomena: Proverite da li je Vaš digitron u DEG modu. To Vam piše na displeju, a menja se uzastopnim pritiskom na MODE dugme, ili MODE i odgovarajući broj.

Da bi našli hipotenuzu, treba nam trigonometrijska funkcija u kojoj se pojavljuje ona i nalegla kateta. To je kosinus:

Formula2604

Alternativno, mogli smo upotrebiti Pitagorinu teoremu:

Formula2605

Međutim, obzirom da smo naspramnu katetu računali, njena dužina je približan broj i može doći do akumulacije greške. Zato je bolje za sva izračunavanja koristiti date vrednosti, ukoliko je to moguće, a alternativne metode za proveru.

Primer 3: Dat je trougao ABC u kome je

Formula2606

Naći a i b.

Rešenje: Skiciraćemo trougao, mada nije neophodno:

Slika536

Za nalaženje stranice a (hipotenuze), koristićemo sinus

Formula2607

Za nalaženje stranice b (nalegla kateta) koristićemo tangens:

Formula2608

1 komentar »

  1. […] Definicija trigonometrijskih funkcija […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 4. januar 2016. @ 4:48 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: