On-line učionica

18. decembar 2015.

Računanje sa približnim brojevima

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:15 pm

Ako radimo sa približnim brojevima, onda je jako važno da razumemo da se greška povećava sa svakom računskom operacijom – najmanje sa sabiranjem i oduzimanjem – duplira se, pa što je složenija operacija sve više. Ali neka se samo duplira… Ako imamo 10 brojeva zaokrugljenih na dve decimale, greška svakog od njih nije veća od 0,005. Međutim, ako ih saberemo, greška će se udesetostručiti, što znači da smemo da tvrdimo da nije veća od 0,05, što opet znači da rezultat možemo smatrati tačnim samo do prve decimale, iako smo počeli od brojeva veće tačnosti.

Precizna procena greške rezultata je tema nekih kurseva više matematike. Mi ćemo se ovde zadržati na jednoj jednostavnoj metodi – uklapanjem između najmanje i najveće vrednosti.

Najmanju vrednost promenljive ili izraza ćemo označavati sa g, a najveću sa G. Već znamo da su najmanja i najveća vrednost početnog podatka date sa

Formula2548

Šta se dešava sa sabiranjem? Najmanji zbir ćemo dobiti kada saberemo dve najmanje vrednosti, a najveći kada saberemo dve najveće

Formula2549

Oduzimanje nije istosmerno, ali jeste logično: razlika je najmanja ako od najmanje vrednosti oduzmemo najveću, a najveća ako od najveće oduzmemo najmanju

Formula2550

Adekvatne formule za množenje i deljenje glase

Formula2551

Sad kada sve to lepo znamo, možemo da uradimo primer…

Primer 1: Procenimo rezultat izraza

Formula2552

i ocenimo grešku, ako je

Formula2553

Rešenje: Prvo ćemo oformiti tabelu u kojoj ćemo uneti najmanje i najveće vrednosti datih parametara i razložiti račun na pojedinačne operacije onim redom kojim ih vršimo:

Podatak ili izraz Najmanja vrednost (g) Najveća vrednost (G)
a 3,22 3,28
b 1,332 1,348
c 2,09 2,13
b2
a + b2
r

Onda vršimo te operacije, koristeći gornja pravila:

Formula2554

Na kraju, popunjena tabela izgleda ovako:

Podatak ili izraz Najmanja vrednost (g) Najveća vrednost (G)
a 3,22 3,28
b 1,332 1,348
c 2,09 2,13
b2 1,774 1,817
a + b2 4,996 5,097
r 2,346 2,439

 

Još samo da izrazimo vrednost rezultata

Formula2555

kao što smo to do sada radili

Formula2556

Samo jedna napomena… svi međurezultati su uzeti sa jednom decimalom više od procenjene tačnosti rezultata, za koju uzimamo da je za jednu decimalu manja od datih podataka. Praktično, sve međurezultate računamo sa onoliko decimala koliko ima najtačniji polazni podatak, a rezultat i njegovu grešku procenjujemo sa jednom decimalom manje.

Ako nam se u zadatku traži da izračunamo nešto sa određenom tačnošću, onda ćemo međurezultate računati sa jednom decimalom više od traženog, bez obzira na tačnost polaznih podataka.

Primer 2: Sa celobrojnom tačnoću izračunati poluprečnik kružnog luka

Formula2557

ako su odgovarajuća tetiva i rastojanje tetive od luka dati sa

Formula2558

Rešenje: Formiramo tablicu i računamo

Podatak ili izraz Najmanja vrednost (g) Najveća vrednost (G)
2t 19,4 19,5
p 3,59 3,65
p/2 1,8 1,8
t 9,7 9,8
t2 94,1 96,0
2p 7,2 7,3
t2/2p 12,9 13,3
r 14,7 15,1

Na kraju je

Formula2559

Da smo računali sa datim tačnostima, dobili bismo rezultat

Formula2560

Kao što vidite, nismo pogrešili iako smo zaokruživali – tražena tačnost je očuvana.

1 komentar »

  1. […] Operacije sa približnim brojevima […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 18. decembar 2015. @ 8:17 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: