On-line učionica

11. decembar 2015.

Granične vrednosti trigonometrijskih funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:10 pm

Pravila računanja limesa izneta u prethodnim lekcijama nam daju neke, ali ne i sve alate za računanje graničnih vrednosti u kojima figurišu trigonometrijske funkcije.

Primer 1: Nađimo

Formula2536

Rešenje: Ovo rešavamo direktnom zamenom:

Formula2537

Primer 2: Nađimo

Formula2538

Rešenje: I ovaj…

Formula2539

Primer 3: Nađimo

Formula2540

Rešenje: Pošto je sinusna funkcija periodična, kako se x povećava ili smanjuje, njena vrednost se kreće između -1 i 1 i ne zadržava se u okolini neke od vrednosti.

Slika528

Zato možemo reći da granična vrednost

Formula2540

ne postoji.

Možemo i generalizovati: limes trigonometrijske funkcije kada x teži konačnom broju se dobija direktnom zamenom, a kada x teži beskonačnosti, onda ne postoji.

Primer 4: Nađimo

Formula2541

Rešenje: Direktnom zamenom dobijamo:

Formula2542

Pogledajmo grafik funkcije iz prethodnog primera:

Slika529

Vidimo kako se funkcija f nalazi između dve parabole:

Formula2543

i kako je one, u okolini nule, „vode“ do njene granične vrednosti.

Ovakve situacije opisuje takozvana teorema o dva policajca:

Formula2544

Drugim rečima, ako možemo da ograničimo neku funkciju sa dve funkcije i one obe imaju isti limes L kada x teži a, onda i ograničena funkcija mora imati isti limes. Napomenimo da a i L mogu biti proizvoljni brojevi, pa čak i beskonačnost.

Pomoću ove teoreme se delimično dokazuje jedan od poznatih limesa

Formula2545

Mi ćemo ovu graničnu vrednost uzimati kao činjenicu, bez dokaza.

Primer 5: Nađimo

Formula2546

Rešenje: Direktna zamena dovodi do količnika 0 / 0, pa se ne može koristiti. Trebaće nam mala transformacija:

Formula2547

1 komentar »

  1. […] Granične vrednosti trigonometrijskih funkcija […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 11. decembar 2015. @ 12:14 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: