Konusni preseci – parabola

Konike ili konusni preseci su četiri (ili tri, ako krug posmatramo kao specijalan slučaj elipse) oblika: krug, elipsa, parabola i hiperbola. Nastaju kao presek ravni sa konusom.

Proučićemo ove preseke stavljajući ih u koordinatnu ravan. Za svaki oblik ćemo analizirati delove, naći jednačinu i grafik. Na kraju ćemo proučiti opšti oblik jednačine konusnog preseka i njihove odnose sa pravama.

Parabola

Ovu krivu već poznajete kao grafik kvadratne funkcije. Parabola se može definisati i kao geometrijsko mesto tačaka u ravni, podjednako udaljenih od date tačke, fokusa (ili žiže), i date prave, direktrise.

Do sada smo jednačinu parabole pisali kao

Sada ćemo je pisati malo drugačije

ako je „otvorena“ ka dole ili gore, odnosno

ako je „otvorena“ udesno ili ulevo. Primetite da je teme parabole uvek u koordinatnom početku.

Primer 1: Skicirajmo parabolu sa jednačinom

i nađimo njen fokus i direktrisu.

Rešenje: Da bismo našli fokus i direktrisu, treba nam parametar p, koji ćemo dobiti upoređujući datu jednačinu sa opštim oblikom:

Dakle, fokus ima koordinate

a direktrisa jednačinu

Da bismo što preciznije nacrtali parabolu, trebaće nam i neka njena tačka…

Primer 2: Fokus parabole sa temenom u koordinatnom početku ima koordinate

Nađimo jednačinu parabole.

Rešenje: Pošto se fokus nalazi na pozitivnom delu y-ose, ova parabola će biti „otvorena“ ka gore. Ako uporedimo date koordinate fokusa sa koordinatama u opštem obliku, dobijamo

Zamenom u opšti oblik jednačine parabole dobijamo

Advertisements