On-line učionica

10. mart 2015.

Eksplicitni oblik jednačine prave

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:19 am

Prvo da se podsetimo nekoliko činjenica iz geometrije…

Dve prave su paralelne, ako leže u istoj ravni i ne seku se. Isto tako i u koordinatnoj ravni, ali o tome ćemo malo kasnije.

Ako su date prava i tačka, onda postoji tačno jedna prava paralelna datoj koja prolazi kroz datu tačku. Ovo je, inače, aksioma – tvrđenje koje se ne dokazuje.

Ako su date prava i tačka, onda postoji tačno jedna prava normalna na datu pravu koja prolazi kroz datu tačku. Ovo nije aksioma, nego teorema, znači da se može dokazati, ali to prevazilazi okvire ovog plana i programa.

Transverzala je prava koja seče dve date paralelne prave. Time se formira 8 uglova, od kojih su po 4 podudarna, a međusobno suplementna (zbir im je 180°).

Jednačina prave je data sa y = kx + n, gde je n presek sa y-osom, a k koeficijent pravca i tada, u prvom razredu, smo rekli da predstavlja odnos „koliko smo se popeli“ prema „koliko smo prešli“, kao kod nagiba puta. U međuvremenu smo učili trigonometriju i naučili da je tangens ugla u pravouglom trouglu jednak odnosu naspramne i nalegle katete, pa sada možemo sa sigurnošću tvrditi da koeficijent pravca predstavlja tangens ugla koji data prava zaklapa sa horizontalom, to jest x-osom.

Slika pozajmljena odavde

Slika pozajmljena odavde

Primer 1: Kako glasi jednačina pravih paralelnih sa x-osom? A normalnih na x-osu? U kakvom su one odnosu sa y-osom?

Rešenje: Ako je prava paralelna sa x-osom, onda je ugao između njih 0, pa pošto je tg 0 = 0, imamo da je k = 0, tj. jednačina prave je y = n.

Ako je prava normalna na x-osu, onda je ugao između njih 90°, pa pošto je tg 90° neodređen, njihove jednačine nisu oblika y = kx + n. One moraju biti paralelne sa y-osom, pa na osnovu prethodnog, možemo zaključiti da njihove jednačine glase x = m.

Slika470

Primer 2: Nacrtajmo tačke A(2, -5), B(-3, 1), C(0, 4) i D(-5, 10). Koliki su koeficijenti pravaca pravih AB i CD? U kakvom su odnosu ove dve prave?

Rešenje: Prvo crtež…

Slika471

Da bismo izračunali koeficijent pravca prave AB, treba nam pravougli trougao, kao na slici iznad.

Ugao između prave AB i x-ose je suplementan uglu α na slici, jer je prava AB transverzala dveju paralelnih horizontalnih pravih. Sada je

Formula2175

Na isti način dobijamo da je

Formula2176

Ove dve prave zaklapaju isti ugao sa x-osom, pa su paralelne.

Primer 3: Nacrtajmo tačke A(2, 1), B(7, -2), C(2, -2) i D(5, 3). Koliki su koeficijenti pravaca pravih AB i CD? U kakvom su odnosu ove dve prave?

Rešenje: Opet prvo crtež:

Slika472

Na isti način kao u prethodnom primeru imamo:

Formula2177

Izgleda, na osnovu crteža (što znamo da nije dokaz!), da su ove dve prave međusobno normalne. To bi značilo da su uglovi α i β komplementni (zbir im je 90°). A to bi dalje značilo da je

Formula2178

Proverimo:

Formula2179

Jeste! Dokazali smo da su prave AB i CD međusobno normalne.

Možete li sada da zaključite pod kojim su uslovima dve prave u koordinatnoj ravni paralelne, a pod kojim međusobno normalne?

Primer 4: Nađimo jednačinu prave paralelne pravoj y = 2x – 7 kroz tačku (5, -1).

Rešenje: Prvo da nacrtamo:

Slika473

Koeficijent pravca nam je poznat, k = 2. Još da nađemo n:

Formula2180

Dakle, tražena jednačina glasi y = 2x -11.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: