On-line učionica

1. mart 2015.

Uvod u analitičku geometriju

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 3:18 pm

Analitička geometrija je deo matematike koji se bavi geometrijom u okviru koordinatnog sistema. Geometrijski objekti (tačke, prave, krugovi, …) se predstavljaju formulama i sa njima se radi u tom – analitičkom obliku. Mi ćemo se zadržati u ravni, a treću dimenziju ostavljamo za studije.

Ako prelistate zbirku sa zadacima iz ove oblasti, primetićete veliki broj formula. Neke ćemo koristiti, neke samo pomenuti, ali zapamtite da je važnije da razumete o čemu se radi i kako objekti stoje u koordinatnom sistemu, nego kako ide formula – kada razumete, uvek možete izvesti formulu, iako je niste zapamtili.

Tačka je objekat bez dimenzija od kojih se sastoje svi drugi objekti i ne definiše se. U koordinatnom sistemu je određena svojim koordinatama. Npr. A(2, 3).

Prava je skup tačaka koji zamišljamo kao beskonačan jednodimenzioni objekat i takođe se ne definiše. I nju smo predstavljali u koordinatnom sistemu, samo smo je tada zvali linearna funkcija. Određena je parametrima k – koeficijent pravca (nagib prave) i n – presek sa y-osom. Sada ćemo formulu y = kx + n zvati jednačinom prave. Npr. y = 2x + 3. Pošto je to skup tačaka, one imaju svoje x i y koordinate i sve tačke čije koordinate zadovoljavaju jednačinu prave su elementi prave. Npr. A(2, 3) ne pripada toj pravoj, ali tačka B(1, 5) pripada.

Ravan je skup tačaka koji zamišljamo kao beskonačan dvodimenzioni objekat i ne definiše se. Pošto se ograničavamo na dve koordinate, sve naše tačke pripadaju istoj, našoj koordinatnoj ravni.

Presek dva geometrijska objekta je skup svih tačaka koje priadaju i jednom i drugom objektu. Analitički se uvek dobija kao rešenje sistema jednačina koje opisuju te objekte zato što koordinate tih tačaka zadovoljavaju obe jednačine.

Primer 1: Nacrtajmo duž AB, gde je A(2, -3) i B(-4, 3) i polupravu CD, gde je C presek prave AB i x-ose i D(1, 4).

Rešenje: Ovo neće biti pravo rešenje zadatka, jer nećemo izračunati koordinate tačke C. Ideja je da preciznim crtanjem, koristeći kvadratiće u svesci, predvidimo rešenje zadatka pre nego što počnemo da računamo.

Slika465

Rastojanje dve tačke je dužina duži određene tim tačkama. U koordinatnom sistemu se meri u jedinicama koordinatnog sistema – gde stavite da je 1 u odnosu na nulu, to je jedinica mere.

Primer 2: Nađimo rastojanje između tačaka A(5, -6) i B(5, 7).

Rešenje: Prvo ćemo nacrtati:

Slika466

i sa slike pročitati AB = 13. Razmislite, kako smo dobili taj broj?

Primer 3: Nađimo rastojanje između tačaka C(2, 3) i D(-3, 3).

Rešenje: Rastojanje je, bez crtanja, CD = 2 – (-3) = 5. Ako ne verujete, nacrtajte!

Ugao je geometrijski objekat koji se sastoji od tačaka dve poluprave koje počinju u istoj tački. Ta tačka se zove teme, a poluprave kraci ugla. Kada budemo merili uglove između dve prave, dobijaćemo dva rešenja – tup i oštar ugao, jer dve prave formiraju četiri ugla od kojih su po dva (unakrsna) podudarna.

Primer 4: Nacrtajmo ugao ABC, gde je A(5, -3), B(-3, -1) i C(2, 2). Da li je on oštar, prav, ili tup?

Rešenje:

Slika467

Sa slike vidimo da je ugao ABC oštar. Ponovo napominjem da ovo nije pravo rešenje zadatka, jer nismo izračunali ugao.

Središte duži je tačka koja leži na datoj duži i jednako je udaljena od njenih krajnjih tačaka. U koordinatnom sistemu će to rastojanje biti jednako, i ako gledamo x-koordinatu i ako gledamo y-koordinatu, zahvaljujući sličnosti trouglova.

Slika468

Sa slike možemo pročitati koordinate središta S duži AB. Hajde da probamo da izvedemo formulu. Koordinatu -1 smo dobili kao polovinu puta između -5 i 3, što je

Formula2168

Na isti način smo dobili i y-koordinatu tačke S:

Formula2169

Ako sada date koordinate tačaka A i B zamenimo odgovarajućim oznakama, dobićemo formulu.

Neka su date tačke

Formula2170

Onda su koordinate središta duži AB

Formula2171

Možete da zapamtite formulu, a možete i da razumete izvođenje, pa ne morate da pamtite formulu😉

Primer 5: Nađimo koordinate tačke B, ako je A(-1, 2) i središte duži AB, S(3, 6).

Rešenje: Možemo da koristimo formulu. Za x-koordinatu imamo:

Formula2172

a za y-koordinatu

Formula2173

Dakle, B(7, 10).

A možemo i da nacrtamo:

Slika469

pa je

Formula2174

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: