On-line učionica

23. februar 2015.

Mešoviti proizvod vektora

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:52 am

Neka su tri nekoplanarana vektora označena sa:

Formula2151

Skalarni proizvod vektorskog proizvoda dva vektora i trećeg vektora je skalar jednak (po apsolutnoj vrednosti) zapremini paralelopipeda konstruisanog nad tim vektorima kao ivicama, a naziva se mešoviti proizvod tri vektora i označava se sa

Formula2152

Da bismo to pokazali, označimo

Formula2153

pa je po definiciji skalarnog proizvoda

Formula2154

Intenzitet vektora

Formula2155

predstavlja površinu paralelograma konstruisanog nad datim vektorima, a to je osnova paralelopipeda.

Slika464

Visina paralelepipeda, na osnovu pravouglog trougla na slici, je

Formula2156

pa je

Formula2157

Pri dokazivanju smo pretpostavili da dati vektori čine desni triedar. U slučaju da oni formiraju levi triedar, zapremina će imati suprotan znak. Prema tome, mešoviti proizvod je po apsolutnoj vrednosti jednak zapremini paralelepipeda čije su ivice dati vektori, a njegov znak daje orijentaciju triedra.

Formula2158

Cikličnim pomeranjem vektora u mešovitom proizvodu ne menja se apsolutna vrednost proizvoda. Zato je

Formula2159

Važi i

Formula2160

Umete li to da dokažete?😉 Znači, važan je samo redosled vektora, a ne gde se nalazi znak vektorskog ili skalarnog proizvoda. Zato se mešoviti proizvod piše i ovako:

Formula2161

Ako su tri vektora koplanarna, onda je njihov mešoviti proizvod jednak nuli. To je geometrijski gledano očigledno, jer tri koplanarna vektora obrazuju paralelopiped zapremine nula.

Ako su vektori izraženi pomoću pravouglih koordinata, to jest ako je

Formula2162

onda možemo izvesti da je

Formula2163

ili u obliku determinante

Formula2164

I ovde, kao kod vektorskog proizvoda, pokažimo da je to isto:

Formula2165

Dakle, opet u zavisnosti od naše „ljubavi“ prema determinantama, biramo jednu od ove dve formule kao definiciju mešovitog proizvoda izraženu koordinatama.

Primer: Dokazati da tačke A(1, 2, -1), B(0, 1, 5), C(-1, 2, 1) i D(2, 1, 3) leže u jednoj ravni.

Rešenje: Ako tačke leže u istoj ravni, onda su njima određeni nekolinearni vektori npr.

Formula2166

koplanarni, a to lako dokazujemo:

Formula2167

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: