On-line učionica

2. februar 2015.

Skalarni proizvod vektora

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:04 pm

Skalar koji je jednak proizvodu intenziteta dva vektora i kosinusa ugla koji oni zaklapaju, naziva se skalarni proizvod vektora:

Formula2108

Skalarni proizvod se može izraziti pomoću projekcije jednog vektora na osu drugog vektora.

Slika461

Pod projekciom vektora na osu drugog vektora podrazumevamo duž

Formula2109

Dakle, skalarni proizvod se može pisati i u ovom obliku:

Formula2110

Ako je skalarni proizvod dva vektora jednak nuli, onda je ili jedan od njih jednak nuli, ili su međusobno normalni:

Formula2111

Ako su vektori normalni, onda važi

Formula2112

Za skalarni proizvod važi zakon komutacije:

Formula2113

Za kolinearne vektore važi

Formula2114

a za jednake vektore

Formula2115

Za skalarni proizvod važi i zakon distribucije

Formula2116

dok se o zakonu asocijativnosti ne može govoriti, jer je definisan samo za dva vektora. Asocijativni zakon važi samo ako je treći činilac skalar, to jest važi:

Formula2117

Preko skalarnog proizvoda je relativno lako izvesti Kosinusnu, a samim tim i Pitagorinu teoremu, što ostavljam vrednim čitaocima😉

Na osnovu definicije skalarnog proizvoda, lako računamo:

Formula2118

Primenom distributivnog zakona i gornjih jednakosti, lako se dolazi i do skalarnog proizvoda dva vektora zadata koordinatama:

Formula2119

Primer 1: Dati su vektori

Formula2120

Naći vektor normalan na Oz osu koji zadovoljava jednačine:

Formula2121

Rešenje: Neka taženi vektor ima koordinate:

Formula2122

Pošto je traženi vektor normalan na Oz osu, važi

Formula2123

Druga dva uslova daju:

Formula2124

Dakle traženi vektor ima koordinate

Formula2125

Ako uporedimo dve definicije skalarnog proizvoda, dobijamo formulu za kosinus ugla između dva vektora:

Formula2126

Primer 2: Dati su vektori

Formula2127

Odredimo projekciju vektora

Formula2128

Rešenje:

Slika462

Prvo ćemo sabrati vektore:

Formula2129

Sada računamo sve potrebne vrednosti:

Formula2130

a onda ih zamenjujemo u formuli

Formula2131

Negativan rezultat nam govori da je ugao između vektora tup, pa projekcija „pada“ na drugu, negativnu stranu.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: